Cinemática (página 2)

CAPÌTULO 2

2.
MARCO TEÒRICO CONCEPTUAL

1. Movimiento

La mecánica trata las relaciones entre
fuerza,
materia y
movimiento;
nos disponemos a analizar los métodos
matemáticos que describen el movimiento.

Esta parte de la mecánica recibe el nombre de
cinemática.

Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho
estudio:

• El movimiento puede definirse como un cambio
  continuo de posición.
• En el movimiento real de un cuerpo extenso, los
  distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias
  diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple
  (partícula).
• Tal modelo es
  adecuado siempre y cuando no exista rotación ni
  complicaciones similares, o cuando el cuerpo es
  suficientemente pequeño como para poder ser
  considerado como un punto respecto al sistema de
  referencia.
• El movimiento más sencillo que puede
  describirse es el de un punto en línea recta, la cual
  haremos coincidir con un eje de coordenadas.

3. Desplazamiento, velocidad
   y aceleración

Para comprender como se mueven los objetos cuando
actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación
externos no equilibrados, es importante configurar exactas
imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la
velocidad y la aceleración, comprender las relaciones
entre estas tres cantidades.

En el proceso se
imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados
mutuamente perpendiculares y un pequeño cuerpo en
movimiento, que en el curso del tiempo, describe
alguna clase de trayectoria en el espacio de
coordenadas.

El principio, no se tendrá interés en
las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación
entre estas causas físicas y la trayectoria
resultante.

En vez de ello, se supondrá que se conoce una
ecuación de movimiento que puede resolverse para dar
información explícita en todo
momento acerca de la posición, la velocidad y la
aceleración de la partícula.

Sólo se considerarán los aspectos
geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama
cinemática.

Inicialmente se supone que, de alguna manera, la
partícula objeto del estudio está limitada a
moverse sólo a lo largo del eje x.

Entonces se puede describir su posición en
cualquier instante t por medio de la distancia x
entre el origen y la partícula, como hay un valor bien
definido de x asociado a cada valor t del
tiempo, x es una función de
t.

Por lo anterior será posible representar
gráficamente el desplazamiento x en función
del tiempo y obtener una gráfica como la de la figura
(2.1)

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje
x graficado en función del tiempo. La
cantidad ∆x/∆t representa la velocidad
media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el
límite de esta cantidad cuando ∆t
tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa
la velocidad instantánea en el tiempo
t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado
la distancia que
recorre la partícula en ese intervalo, y observando
que

(2.2.1)

 De la figura 2.1 es claro que es la tangente del
ángulo θ, por lo que representa también la
pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva que
corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + .

Ahora podrá definirse la velocidad
instantánea vx asociada a un instante t y el
desplazamiento correspondiente x, como el límite de
cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la
definición de la derivada de x con respecto a
t; entonces,

(2.2.2)

La velocidad instantánea puede considerarse como
la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura
2.1.

Es claro que conforme ∆t y
∆x tienden a cero en el límite, la
pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de
la tangente a la curva en P.

Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que
la velocidad instantánea Vx es la rapidez de
variación del desplazamiento.

Fácilmente se demuestra que si la velocidad
instantánea es constante, entonces la velocidad media un
intervalo de tiempo es igual a la velocidad
instantánea.

Si la velocidad instantánea no fuese constante,
entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo
escogido y, en general, no será igual a la velocidad
instantánea al principio o al final del
intervalo.

También se puede hablar de la aceleración
media āx durante cierto
intervalo, como el cambio en la velocidad instantánea
que experimenta
la partícula durante aquél, dividido entre la
duración del mismo,..; entonces,

Como antes, la aceleración
instantánea ax asociada al tiempo t se
considera como el límite de ax conforme el
intervalo tiende
a cero, es decir, como la derivada de vx con respecto
a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x
con respecto a t:

En consecuencia, se puede decir que la
aceleración instantánea es la rapidez de
variación de la velocidad instantánea.

Si se graficara la velocidad vx
como función del tiempo (y no del desplazamiento), se
encontraría que la pendiente dvx/dt en
cualquier punto sería igual a la aceleración
instantánea en el tiempo correspondiente.

Utilizando (2.2.2) y (2.2.4) es posible
expresar la aceleración ax en forma ligeramente
distinta, lo que a menudo es muy útil.

Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que
equivale a multiplicar dvx/dt por dx/dx (es decir, por
la unidad), se obtiene:

Se verá que esta relación
sirve para encontrar el desplazamiento en términos de la
velocidad, o viceversa.

NOTA 1:

De aquí en adelante se
usarán poco la velocidad media o la aceleración
media, y a menos que se especifique lo contrario, los
términos velocidad o aceleración se
referirán a los valores
instantáneos de estas cantidades.

GRÀFICA DEL MOVIMIENTO DE
UNA PARTÌCULA EN EL ESPACIO

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Desplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de
una trayectoria arbitraria en el espacio coordenado
tridimensional. El vector ∆r/∆t es la velocidad media
durante el intervalo, en tanto que la derivada dr/dt. (Que se obtiene en el
limite cuando →0, representa el vector velocidad instantánea
al tiempo t) (Figura 2.2)

Si no se confina el movimiento de la partícula al
eje x aquella describirá una cierta curva o trayectoria en
el espacio, como se muestra en la
figura2.2. En el tiempo t, la partícula estará en
algún punto P cuyas coordenadas espaciales son (x, y, z);
y en este momento se pede describir su desplazamiento con
respecto al origen mediante un vector de posición
r, cuyas componentes según los ejes coordenados son
x, y e z, respectivamente. Entonces el vector de posición
r en el tiempo t es

En un tiempo posterior t + , la partícula se habrá
movido a lo largo de su trayectoria hasta un punto Q de
coordenadas ( x +x, y + y, z
+ z). El vector
de posición

r + r
asociado a Q es:

r +r =(x + x)i +(y + y)j +(z + z)k (2.2.7)

En forma análoga a (2.1.1) la
velocidad media puede explicarse como el vector .

Por tanto:

Ahora se define la velocidad instantánea v como
un vector que exprésale valor límite de v conforme
tiende a cero,
por lo que:

o sea que,

La velocidad instantánea es, entonces, un vector
cuyas componentes x, y y z son:

La dirección de este vector es la
dirección límite del vectorr cuando t0; es decir, conforme Q se mueve a lo largo de la curva
hacia P. De la figura 1.2 es evidente que en este límite
la dirección r es la de la tangente a la trayectoria en P.

En consecuencia, la dirección de v también
es la dirección de la tangente a la trayectoria en
P.

Desde luego, la expresión: es el módulo de la
velocidad  

Ahora se puede utilizar precisamente el mismo método
para estudiar la aceleración. El vector velocidad V en el
tiempo t es:

(2.2.12)

En que (2.1.10) de vx’ vy y
vz’ en tanto que en el tiempo t+t, la velocidad
serà:

(2.2.13)

 La aceleración media en el intervalo t es
v/t

Por lo que:

=

La aceleración instantánea en el tiempo t
se obtiene evaluado la aceleración media en el
límite cuando t 0. Como en
(1.19), las relaciones vx/t, vy/t, etc., se convierten en derivadas en este
límite, y el resultado final es:

  La aceleración instantánea a es un
vector cuyas componentes son:

La dirección del vector aceleración es la
del vector dv que representa el cambio de la velocidad en
un intervalo de tiempo infinitesimal. No es el necesario que este
vector tenga la misma dirección que el vector velocidad
v, y en realidad, generalmente no la tiene.

Como siempre, la magnitud del vector aceleración
está dada por:

(2.2.17)

Como antes, usando el mismo razonamiento algebraico, es
posible demostrar que las componentes de la aceleración se
pueden escribir en la forma alternativa

Al resolver problemas
reales en la dinámica de estados físicos, se
podrán determinar los valores de las
componentes de la aceleración ax’
ay y az’ a partir de las leyes del
movimiento expresadas como un sistema de ecuaciones de
movimiento. Entonces será posible obtener las componentes
de la velocidad por integración, ya que de (2.2.16)

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Al evaluar las integrales se
obtiene una constante de integración que no puede
determinarse a menos que se conozca de antemano el valor de la
velocidad en un tiempo específico.

A menudo se encontrara que se conoce o puede especificar
la velocidad inicial (cuando t=0).

De modo que para obtener los valores precisos de la
velocidad en todo tiempo, es necesario conocer (además de
las ecuaciones de movimiento que dan la aceleración) algo
acerca de la velocidad en algún momento o lugar
determinado.

A esta información complementaria se la llama
condición en la frontera.

Una vez evaluadas las componentes de la velocidad a
partir de la aceleración dada, con ayuda de una
condición en la frontera adecuada será posible
evaluar el desplazamiento de la partícula integrando
nuevamente.

De (2.2.10) se puede escribir:

y por tanto

(2.2.20)

Otra vez más aparece una constante de
integración que no puede evaluarse sin datos
adicionales.

-Otra condición en la frontera, que esta vez
especifica que la ubicación de la partícula en
determinado instante. Al estudiar los ejemplos, se
examinarán en detalle las técnicas a
emplear en la integración de ecuaciones de movimiento y el
uso de las condiciones en la frontera.

2.3 OTRAS CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRE
DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y RAPIDEZ

El movimiento de una partícula
se conoce por completo si su posición en el espacio se
conoce en todo momento.

Por ejemplo, considérese un auto
(que trataremos como una partícula) que se mueve a lo
largo del eje x desde un punto P a un punto Q.

Su posición en el punto P es x, en el tiempo
ti y su posición en el punto Q es xf
en el tempo tf. (Los índices i y f se refieren
a los valores inicial y final.) (Figura 2.3)

1. Un auto se mueve a la derecha a lo largo de una
   línea recta tomando como el eje x. Debido a que nos
   interesa solo el movimiento de traslación del auto se
   puede tratar como una partícula

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

B. Grafica posición-tiempo para el movimiento
de la "partícula

En tiempos diferentes a ti y
tf, la posición de la partícula entre
estos dos puntos puede variar,.

Una gráfica con estas características recibe el nombre de
gráfica de posición – tiempo, Cuando la
partícula se mueve de la posición xi a
la posición xf, su desplazamiento está
dado por Xf – xi.

Como se sabe con la letra griega delta
se indica el cambio en una cantidad.

Por consiguiente, se escribe el cambio en
la posición de la partícula (el
desplazamiento).

(2.3.1)

El desplazamiento no debe
confundirse con la distancia recorrida puesto que en cualquier
movimiento ésta es por completo diferente a
cero.

Por ejemplo, en la figura 2.4 se ve que un
jugador de béisbol cuando batea un home run, recorre una
distancia de 360 pies en su viaje alrededor de las bases; sin
embargo, su desplazamiento es 0 porque las posiciones final e
inicial del jugador son idénticas.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" 

Vista aérea de un diamante de béisbol.
Un bateador que batea un home run viaja 360 pies cuando
recorre las bases, pero su desplazamiento en la vuelta completa
es cero

La velocidad promedio no nos brinda
detalles del movimiento entre los puntos P y Q en la figura
2.3b.

La velocidad promedio de una partícula en una
dimensión puede ser positiva o negativa, según el
signo del desplazamiento.

(El intervalo de tiempo, t, siempre es
positivo.)

Si la coordenada de la partícula
aumenta en el tiempo (es decir, si xf >
xi), entonces x es positiva, y también .

Este caso corresponde al movimiento en la
dirección x positiva.

Si la coordenada disminuye en el tiempo
(xf< xi), x es negativa y consecuentemente es
negativa.

Este caso corresponde al movimiento en la
dirección de x negativa.

2.3.1 VELOCIDAD PROMEDIO, INSTANTANEA Y
RAPIDEZ

La velocidad promedio de una
partícula se define como el cociente entre la distancia
total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa
distancia:

distancia total

Velocidad promedio =
————————

tiempo total

La unidad del SI de la rapidez promedio,
igual que la velocidad, también es metros por
segundo.

Sin embargo, a diferencia de la velocidad promedio, la
rapidez promedio no tiene dirección, por lo tanto
no lleva signo algebraico.

Conocer la velocidad promedio de una partícula no
brinda ninguna información acerca de los detalles del
viaje.

Por ejemplo, suponga que usted tarda 8.0 h
al viajar 280 Km. en su automóvil. La rapidez promedio de
su viaje es 35 Km./h. Sin embargo, es probable que usted haya
viajado a diversas velocidades durante el trayecto, y la rapidez
promedio de 35 Km./h resultaría de un número
infinito de posibles variaciones de rapidez.

2.3.2 ACELERACIÒN
INSTANTÀNEA

Cuando La velocidad de una partícula cambia
con el tiempo, se dice que la partícula esta
acelerando.

Por ejemplo: La velocidad de un
automóvil aumentará cuando usted "le pise el
acelerador" y disminuirá cuando aplique los
frenos.

Sin embargo, es necesaria una definición
más precisa de aceleración:

Supóngase que una partícula que se mueve a
lo largo del eje x a una velocidad vi al tiempo
ti, y una velocidad vf tiempo
tf, como se muestra en la figura 2.4a.

 Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar"

 a) Una "partícula" que se mueve de P a Q
tiene velocidad vi en t = ti y velocidad
vf en t = tf.

b) Grafica velocidad-tiempo para la partícula
moviéndose en una línea recta.

La pendiente de la línea recta que conecta P
y Q es la aceleración promedio en el intervalo de tiempo
∆t= tf – ti.

La aceleración promedio de la
partícula en el intervalo de tiempo t = tf –
ti

se define como el cociente v/t, donde v = vf-vi es el cambio de la velocidad
en este intervalo de tiempo:

(2.3.2)

La aceleración tiene dimensiones de longitud
dividida por (tiempo)2, o L/T2.

Algunas de las unidades comunes de
aceleración son metros por segundo por segundo
(m/s2) y pies por segundo por segundo
(pies/s2).

De la misma forma que con la velocidad
se pueden emplear los signos positivo y negativo para indicar la
dirección de la aceleración cuando el movimiento
que se analiza es unidimensional.

En algunas situaciones el valor de la
aceleración promedio puede ser diferente sobre intervalos
de tiempo distintos.

Por ese motivo, es útil definir la
aceleración instantánea como el límite de la
aceleración promedio cuando t se acerca a cero.

Este concepto es
similar a la definición de velocidad instantánea
estudiado, la aceleración instantánea
será:

  (2.3.3)

Es decir, la aceleración instantánea es
igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual
por definición, es la pendiente de la gráfica
velocidad-tiempo (Fig.2.4b).

Se puede interpretar la derivada de la velocidad
respecto del tiempo como la tasa de cambio de la velocidad. Si a
es positiva, la aceleración está en la
dirección x positiva, pero, si a es negativa indica que la
aceleración está en la dirección x
negativa.

A partir de ahora se empleará el término
aceleración con el significado de aceleración
instantánea.

Puesto que v = dx/dt, la aceleración
también puede escribirse:

  (2.3.4)

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" 

La aceleración instantánea puede
obtenerse de la grafica velocidad-tiempo.

a) En cada instante, la aceleración en la
grafica a contra t.

b) Iguala la pendiente de la línea tangente a
la curva de v contra t.

Es decir, en un momento unidimensional, la
aceleración es igual a la segunda derivada de la
coordenada x en relación con el tiempo.

La aceleración en cualquier
tiempo es la pendiente de la grafica velocidad-tiempo en ese
tiempo.

2.3.3 Relaciones gráficas entre x, v y a

La posición de un objeto que se mueve a lo largo
del eje x varía con el tiempo, como se muestra en la
figura 2.6a.

Con métodos gráficos se obtienen gráficas de la
velocidad contra el tiempo y de la aceleración contra el
tiempo para el objeto.

Razonamiento y solución:

La velocidad en cualquier instante es la pendiente de la
tangente de la gráfica x-t en ese instante.

Entre t=0 y t= t1, la pendiente de la
gráfica x-t aumenta de manera uniforme, por lo cual la
velocidad se incrementa linealmente, como en la figura 2.6b.
Entre t1 y t2 la pendiente de la
gráfica x-t es constante, de manera que la velocidad
permanece constante.

En t4, la pendiente de la gráfica x-t
es cero, de modo que la velocidad es cero en ese
instante.

Entre t4 y t5 la pendiente de la
gráfica x-t es negativa y disminuye de manera uniforme;
por lo tanto, la velocidad es negativa y constante en este
intervalo.

En el intervalo t5 a t6 la
pendiente de la gráfica x-t aún es negativa y va a
cero en t6.

Por último, después de t6 la
pendiente de la gráfica x-t es cero, por lo que el objeto
se encuentra en reposo.

De manera similar, la aceleración en cualquier
instante es la pendiente de la tangente de la gráfica v-t
en ese instante.

La gráfica de aceleración contra tiempo
para este objeto se muestra en la figura 2.6c.

Observe que la aceleración es constante y
positiva entre 0 y t1, donde la pendiente de la
gráfica v-t es positiva; la aceleración es cero
entre t1 y t2 y para t , porque la pendiente de
la gráfica v-t es cero.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" 

a) Grafica posición-tiempo para un objeto que
se mueve a lo largo del eje x.

b) La velocidad contra el tiempo para el objeto se
obtiene al medir la pendiente de

la grafica posición-tiempo en cada
instante.

c) La aceleración contra el tiempo para el
objeto se obtiene midiendo la pendiente de la grafica
velocidad-tiempo en cada instante.

2.3.4 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y
RAPIDEZ

Poder definir la velocidad de una partícula en un
instante particular del tiempo, en lugar de sólo un
intervalo de tiempo, la velocidad de una partícula en
cualquier instante de tiempo – en otras palabras, en algún
punto sobre una gráfica espacio – tiempo – recibe el
nombre de velocidad instantánea. Este concepto
tiene una importancia especial cuando la velocidad promedio en
diferentes intervalos de tiempo no es constante.

 Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar"

1. Conforme el auto se mueve a lo largo del eje
   x, y Q se acerca a P, el tiempo que tarda en recorrer la
   distancia disminuye.
2. Grafica posición-tiempo para la
   "partícula". A medida que los intervalos de tiempo se
   vuelven más y más pequeños, la velocidad
   promedio para ese intervalo, igual a la pendiente de la
   línea punteada que conecta P y la Q apropiada, se
   aproxima a la línea tangente en P. La velocidad
   instantánea en P es la pendiente de la línea
   tangente en el tiempo t1

Considérese el movimiento en línea recta
de una partícula entre los puntos P y

Q sobre el eje x, como se ve en la figura 2.7a. A medida
que Q se va acercando más y más a P, el tiempo
necesario para recorrer la distancia se vuelve progresivamente
más pequeño. La velocidad promedio para cada
intervalo de tiempo es la pendiente de la línea punteada
correspondiente en la gráfica espacio-tiempo mostrada en
la figura 2.7b Conforme Q se acerca a P, el intervalo de tiempo
se aproxima a cero y la pendiente de la línea punteada se
acerca a la de la línea tangente azul a la curva en P. La
pendiente de esta línea se define como la velocidad
instantánea en el tiempo ti, en otras
palabras,

la velocidad instantánea, v, es igual al valor
límite del cociente x/t
conforme t se
acerca a cero.

(2.3.5)

En la notación del cálculo,
este límite se conoce como la derivada de ^respecto de t,
y se escribe dx/dk

(2.3.6)

La velocidad instantánea puede ser positiva,
negativa o cero. Cuando la pendiente de la gráfica
posición-tiempo es positiva, como en P en la figura 2.8, v
es positiva.

En el punto R, v es negativa puesto que la pendiente
también lo es. Por último, la

velocidad instantánea es cero en el pico Q (el
punto de retorno), donde la pendiente es cero.

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Fig. 2.8 En esta grafica posición-tiempo la
velocidad es positiva en P, donde la pendiente de la línea
tangente es positiva, cero en Q donde la pendiente de la
línea tangente es cero, y negativa en R, donde la
pendiente de la línea tangente es negativa.

De aquí en adelante se empleará la palabra
velocidad para designara la velocidad instantánea. Cuando
interese la velocidad promedio, se empleará siempre el
adjetivo promedio.

La rapidez de una partícula se defines
como la magnitud de su velocidad. La rapidez no tiene
dirección asociada y, en consecuencia, no lleva signo
algebraico. Por ejemplo, si una partícula tiene una
velocidad de +25 m/s y otra partícula tiene la velocidad
de –25m/s, las dos tiene una rapidez de 25m/s. El
velocímetro de un automóvil indica la rapidez, no
la velocidad.

También es posible utilizar una técnica
matemática
conocida como integración para determinar el
desplazamiento de una partícula si se conoce su velocidad
como una función del tiempo. Debido a que quizá los
procedimientos
de integración no sean familiares para muchos estudiantes,
el tema se trata (opcionalmente).

EJEMPLO El proceso de límite

La posición de una partícula que se mueve
a lo largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo con la
expresión x = (3 m/s2) t2, donde x
está en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad en
cualquier tiempo.

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Fig. 2.9 Grafica posición-tiempo para una
partícula que tienen una coordenada x que varia en
el tiempo según x=3t2. Observe que la
velocidad instantánea en t=3s es igual ala
pendiente de la línea delgada tangente a la curva en ese
instante.

Razonamiento y solución La
gráfica posición-tiempo para este movimiento se
muestra en la figura 2.9 se puede calcular la velocidad en
cualquier tiempo utilizando la definición de la velocidad
instantánea (ecuación 2.3.5). Si la coordenada
inicial de la partícula al tiempo t es xi =
3t2, entonces la coordenada a un tiempo posterior t +
t es:

x=3(t+t)2=3[t2+2tt+ (t)2]

=3t2+6t t+3()2

Por tanto, el desplazamiento en el intervalo de tiempo
t es

x =
X– xi =
3t2 + 6tt + 3(t)2 – 3t2

=6t t+
3(t)2

La velocidad promedio en este intervalo es:

=
= 6t + 3
t

Para encontrar la velocidad instantánea, se toma
el límite de esta expresión conforme t se acerca a cero, como
muestra la ecuación 2.9. Al hacerlo así, vemos que
el término 3 t se va a cero, por lo que:

Advierta que esta expresión brinda la velocidad
en cualquier tiempo t. Nos indica que v crece linealmente en el
tiempo. Por ello se encuentra directamente la velocidad en
algún tiempo específico de la expresión v =
(6 m/s2) t. Por ejemplo, si t = 3.0 s, la velocidad es
v= (6 m/s2) (30.5) = + 18 m/s. De nuevo, esto puede
verificarse a partir de la pendiente de la gráfica (la
línea verde) en t=3.0s.

El proceso límite también puede examinarse
numéricamente. Por ejemplo, con las expresiones para
xy se puede calcular el
desplazamiento y la velocidad promedio para diversos intervalos
de tiempo que inicien en t = 3.0 s. Los resultados de estos
cálculos se presentan en la tabla 2.3.4.1 a medida que los
intervalos de tiempo se vuelven más y más
pequeños, la velocidad promedio se acerca al valor de la
velocidad instantánea en t = 3.0 s, es decir, +18
m/s.

2. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON ACELERACIÓN
   CONSTANTE

Si la aceleración de una partícula
varía con el tiempo, el movimiento puede ser muy
difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común
y simple de movimiento

unidimensional ocurre cuando la aceleración es
constante o uniforme. Cuando la

aceleración es constante, la aceleración
promedio es igual a la aceleración instantánea, en
consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa
durante todo el movimiento.

Si en la ecuación se reemplaza por a, se
obtiene:

Por conveniencia se deja ti = 0 y t sea. cualquier tiempo
arbitrario t. Además, se deja que vi =
v0 (, (la velocidad inicial en t = 0) y v= v (la velocidad en
cualquier tiempo arbitrario t). Con esta notación, se
puede expresar la aceleración como:

o v = vo + at (para a constante)
(2.4.1)

Esta expresión permite determinar la velocidad en
cualquier tiempo t si se conocen la velocidad inicial, la
aceleración (constante) y el tiempo
transcurrido.

Una gráfica velocidad-tiempo para este movimiento
se muestra en la figura 2.10a. La gráfica es una
línea recta cuya pendiente es la aceleración, a, lo
que es consistente con el hecho de que a = dv/dt es una
constante.

Advierta que si la aceleración fuera negativa, la
pendiente de la figura 2.10a sería negativa. Si la
aceleración es en la dirección opuesta a la
velocidad, entonces la partícula se está
desacelerando.

De acuerdo con esta gráfica y con la
ecuación 2.4.1, vemos que la velocidad en cualquier tiempo
t es la suma de la velocidad inicial, vo, y el cambio
en la velocidad, at.

La gráfica de la aceleración contra el
tiempo (Fig. 2.10 b) es una línea recta con

una pendiente de cero, ya que la aceleración es
constante.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Fig. 2.10 Una partícula que se mueve a lo
largo del eje x con aceleración constante
a;

a) grafica velocidad-tiempo,

b) grafica aceleración-tiempo

c) grafica posición-tiempo.

Puesto que la velocidad varía linealmente en el
tiempo, según la ecuación 1.8, es posible expresar
la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la
media aritmética de la velocidad inicial, vo, y
de la velocidad final, v:

(para a
constante) (2.4.2)

Observe que esta expresión es útil
sólo cuando la aceleración es constante, es decir,
cuando la velocidad varía de manera lineal con el
tiempo.

Ahora, con las ecuaciones 2.2 y 2.4.2 se puede obtener
el desplazamiento como

función del tiempo. En este caso también
se elige ti = o, tiempo en el cual la posición
inicial es xi = x0. Esto produce

(para a constante)
(2.4.3)

Es posible obtener otra expresión útil
para el desplazamiento: AI sustituir la ecuación 2.4.1 en
la 2.4.3

(para a constante)
(2.4.4)

La validez de esta expresión puede comprobarse
diferenciándola con respecto del tiempo;

Por último, es posible obtener una
expresión que no contenga el tiempo sustituyendo el valor
de t de la ecuación 2.4.1 en la 2.4.3:

(para a
constante)

(2.4.5)

EJEMPLO CONCEPTUAL

¿Estas ecuaciones de la cinemática son
útiles en situaciones donde la aceleración
varía con el tiempo? ¿Es posible emplearlas cuando
la aceleración es cero?

Razonamiento

Las ecuaciones de la cinemática no son
útiles si la aceleración varía
continuamente. Sin embargo, si la aceleración cambia en
etapas, es decir, se tiene un valor constante por un momento y
después otro valor constante para cierto intervalo de
tiempo ulterior, las ecuaciones para movimiento con
aceleración constante pueden emplearse para seguir cada
sección del movimiento por separado.

Si la aceleración es cero durante cierto
intervalo de tiempo, la velocidad es constante y las ecuaciones
cinemáticas pueden usarse; en este caso, como a = 0, las
ecuaciones se vuelven v = v0 y x – x0
= vt.

EJEMPLO

Un automóvil viaja a una velocidad constante de
30.0 m/s (=67mi/h) y pasa por un anuncio detrás del cual
se oculta un policía de la guardia civil. Un segundo
después de que el auto pasa, el policía inicia la
persecución con una aceleración constante de 3.00
m/s2. ¿Cuánto tarda el policía en
superar al automóvil?

Razonamiento

Para resolver este problema de una forma algebraica, se
escriben expresiones para la posición de cada
vehículo como una función del tiempo. Es
conveniente elegir el origen en la posición del anuncio y
tomar t = 0 como el tiempo en el que el policía empieza a
moverse. En ese instante el veloz

automóvil ya ha recorrido una distancia de 30.0 m
debido a que viaja una rapidez constante de 30.0 m/s. De tal
modo, la posición inicial del automóvil
rápido es x0=30.0 m.

5. Es bastante conocido que todos los objetos, cuando
   se sueltan, caen hacia la
   tierra con aceleración casi constante. Hay una
   leyenda según la cual fue Galileo quien
   descubrió este hecho al observar que dos diferentes
   pesas dejadas caer simultáneamente desde la
   inclinada Torre de Pisa golpeaban el suelo casi
   al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de que este
   particular experimento se llevó a cabo, está
   perfectamente establecido que Galileo efectuó muchos
   experimentos sistemáticos en objetos
   que se movían sobre planos inclinados. Con
   cuidadosas mediciones de distancias e intervalos de tiempo,
   fue capaz de mostrar que el desplazamiento de un objeto que
   parte del reposo es proporcional al cuadrado del tiempo en
   que el objeto está en movimiento.

   Esta observación es consistente con una de
   las ecuaciones cinemáticas que se obtuvo para el
   movimiento con aceleración constante
   (ecuación 2.4.4). Los logros de Galileo en la
   ciencia de la mecánica prepararon el camino para
   que Newton
   desarrollara sus leyes del movimiento.

   Tal vez el lector desee intentar el siguiente
   experimento. Deje caer una moneda

   y un pedazo de papel
   apretado con la mano simultáneamente desde la misma
   altura.

   Como no hay resistencia del aire, ambos
   experimentarán el mismo movimiento y

   llegarán al suelo al mismo tiempo. En un
   experimento real (no ideal), la resistencia del aire no
   puede ignorarse. En el caso idealizado; donde se desprecia
   la resistencia del aire, dicho movimiento se conoce como
   caída Ubre. Si este mismo experimento se
   llevará a cabo en un buen vacío, donde la
   fricción del aire es despreciable, el papel y la
   moneda caerían con la misma aceleración, sin
   que importara la forma del papel.

   Este caso se ilustra de manera muy convincente en
   la fotografía de la manzana y la pluma
   que caen en un vacío. El 2 de agosto de 1971 el
   astronauta David Scott realizó un experimento de
   estas características en la Luna (donde la
   resistencia del aire es despreciable).
   Simultáneamente soltó un martillo de
   geólogo y la pluma de un halcón, que hicieron
   contacto con la superficie lunar al mismo tiempo.
   ¡Esa demostración seguramente habría
   complacido a Galileo!

   Denotaremos la aceleración de caída
   libre con el símbolo g. El valor de g sobre la
   Tierra
   disminuye conforme aumenta la altitud. También, hay
   ligeras variaciones de g con la latitud. La
   aceleración de caída libre está
   dirigida hacia el centro de la Tierra.

   En la superficie, el valor de g es aproximadamente
   9.80 m/s2, o 980 cm./s2 o 32
   pies/s2. A menos que se establezca lo contrario,
   cuando efectuemos cálculos usaremos este valor para
   g.

   Cuando se emplea la expresión objeto que
   cae libremente no se hace referencia necesariamente a un
   objeto que se soltó desde el reposo. Un objeto que
   cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad
   bajo la influencia de la gravedad, sin importarse
   movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o
   hacia abajo y los que se sueltan desde el reposo todos caen
   libremente una vez que se han liberado. También, es
   importante recordar que cualquier objeto que cae libremente
   experimenta una aceleración dirigida hacia abajo.
   Esto es cierto independientemente del movimiento inicial
   del objeto.

   Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia
   abajo experimentarán la misma aceleración que
   un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que
   están en caída libre, todos los objetos
   tienen una aceleración hacia abajo, igual a la
   aceleración de caída libre.

   Sí se desprecia la resistencia del aire y
   se supone que la aceleración en caída libre
   novaría con la altitud, entonces el movimiento
   vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al
   movimiento en una dimensión con aceleración
   constante.

   Por tanto, pueden aplicarse las ecuaciones
   cinemáticas para aceleración
   constante.

   Se tomará la dirección vertical como
   el eje y-y se indicará positiva hacia arriba. Con
   estas coordenadas es posible sustituir x por y en las
   ecuaciones 2.4.3, 2.4.4 y 2.4.5.

   Asimismo, como es positiva, hacia arriba, la
   aceleración es negativa (hacia abajo) y está
   dada por a = -g. El signo negativo indica simplemente que
   la aceleración es hada abajo. Con estas
   sustituciones se obtienen las siguientes
   expresiones:

   (2.5.1)

   (para a constante = -g)
   (2.5.2)

   (2.5.3)

   (2.5.4)

   Adviértase que el .signo negativo para la
   aceleración ya está incluido en estas
   expresiones.

   Por consiguiente, cuando se utilicen estas
   ecuaciones en cualquier problema de caída libre,
   sólo debe sustituirse g = 9.80
   m/s2

   EJEMPLO CONCEPTUAL

   Un niño lanza una canica al aire con cierta
   velocidad inicial. Otro niño deja caer una pelota en
   el mismo instante. Compare las aceleraciones de los dos
   objetos mientras permanecen en el aire.

   Razonamiento Una vez que los objetos
   abandonan la mano ambos están en caída libre
   y, en consecuencia, experimentan la misma
   aceleración hacia abajo igual a la
   aceleración de caída libre, g= 9.80
   m/s2.

   EJEMPLO

   Una pelota de golf se lanza desde arriba. Mientras
   esta en el aire,

   a)¿qué pasa con su
   velocidad?

   b)¿Su aceleración aumenta, disminuye
   o permanece constante?

   Razonamiento

   a) La velocidad de la pelota cambia continuamente.
   Cuando viaja hacia arriba su velocidad disminuye 9.80 m/s
   durante cada segundo de su movimiento. Cuando alcanza el
   punto máximo de su movimiento, su velocidad se
   vuelve cero. Conforme se mueve hacia abajo, su velocidad
   aumenta 9.80 m/s cada segundo, b) La aceleración de
   la pelota permanece constante mientras permanece en el
   aire, desde el instante que se separa de la mano hasta el
   instante anterior a su choque con el suelo. Su magnitud es
   la aceleración de caída libre, g = – 9.80
   m/s2. (Si la aceleración fuera cero en el
   punto máximo cuando la velocidad es cero, esto
   indicaría que de ahí en adelante ya no
   habría cambio en la velocidad, por lo que la pelota
   se detendría en dicho máximo, y
   permanecería ahí, que no es el
   caso.)

6. OBJETOS QUE CAEN LIBREMENTE
7. ECUACIONES CINEMÁTICAS DERIVADAS DEL
   CALCULO

Esta es una sección optativa en la que se supone
que el lector está familiarizado con el cálculo
integral. Si usted no ha estudiado aún integración
en su curso de cálculo debe saltar esta sección o
cubrirla tiempo después de haberse familiarizado con la
integración.

La velocidad de una partícula que se mueve en una
línea recta puede obtenerse

de conocer cuál es su posición como
función del tiempo. Matemáticamente, la velocidad
es igual a la derivada de la coordenada respecto del tiempo.
También es posible encontrar el desplazamiento de una
partícula si se conoce su velocidad como función
del tiempo.

En cálculo, este procedimiento se
conoce como integración, o determinación de la
antiderivada. Gráficamente es equivalente a determinar el
área bajo una curva.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Suponga que la gráfica de velocidad contra tiempo
para una partícula que se

mueve a lo largo del eje x es como se muestra en la
figura 2.11 Divídase el intervalo de tiempo t– tI, en muchos
intervalos pequeños de duración tn.
Según la definición de la velocidad promedio, se ve
que el desplazamiento durante cualquier intervalo pequeño,
como el sombreado en la figura 2.11, está dado por
xn
= donde
n es
la velocidad promedio en ese intervalo.

Por lo tanto, el desplazamiento en el transcurso de este
pequeño intervalo es sencillamente el área del
rectángulo sombreado. El desplazamiento total para el
intervalo t –
ti es la suma de las áreas de todos los
rectángulos:

donde la suma se toma sobre todos los rectángulos
de ti a t. Ahora, a medida que cada intervalo se hace más
pequeño, el número de términos en la suma
aumentan y ésta se acerca a un valor igual al área
bajo la gráfica velocidad-tiempo. En consecuencia, en el
límite.
Vemos que el desplazamiento está dado por:

(2.6.1)

Advierta que en la suma se ha sustituido la velocidad
promedio vn por la velocidad instantánea
. Como se puede
ver en la figura 2.11, esta aproximación es válida
en el límite de intervalos muy pequeños.

La conclusión es que si la gráfica
velocidad – tiempo para el movimiento a lo largo de una
línea recta se conoce, el desplazamiento durante cualquier
intervalo de tiempo puede obtenerse al medir el área bajo
la curva correspondiente a ese intervalo de tiempo.

En la ecuación 2.6.1 el límite de la suma
se conoce como integral definida y se

Escribe.

(2.6.2)

donde v( t) denota la velocidad en cualquier tempo t. Si
se conoce la forma funcional explícita de v(t), y se dan
los límites,
es posible evaluar la integral.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Fig. 2.11 Velocidad versus tiempo para una
partícula en movimiento a lo largo del eje x. El
área del rectángulo sombreado es igual al
desplazamiento ∆x en el intervalo de tiempo
∆tn, mientras que el área total bajo la
curva es el desplazamiento total de la
partícula.

Si una partícula se mueve con una velocidad
constante V0, como muestra la figura 2.12 , su
desplazamiento durante el intervalo de tiempo t es simplemente el
área del rectángulo sombreado, es decir,

x = v0 t (cuando v =
v0 = constante)

Como otro ejemplo, considere una partícula
moviéndose con una velocidad que

es proporcional a t, como se ve en la figura 2.13. Si se
toma v = at, donde a es la

constante de proporcionalidad (la aceleración),
se encontrará que el desplazamiento de la partícula
durante el intervalo de tiempo t = 0 at = t1 es el
área del triángulo sombreado en la figura
2.13:

x =

2.6ECUACIONES CINEMÁTICAS

A continuación se utilizarán las
ecuaciones de definición correspondientes a la
aceleración y la velocidad para deducir dos ecuaciones
cinemáticas.

La ecuación que define la
aceleración

también puede escribirse en términos de
una integral (o antiderivada) como

dt+C1

donde C1 es una constante de
integración. Para el caso especial en el que la
aceleración es constante, lo anterior se reduce
a

v = at + C1

El valor de C1 depende de las condiciones
iniciales del movimiento. Si tomamos v = v0 cuando t
=0 y sustituimos estos valores en la última
ecuación, tenemos

V0 = a(0) + C1

C1 = v0

Portante, se obtiene la primera ecuación
cinemática (ecuación 2.4);

v = v0 + at (para a constante)

Ahora consideremos la ecuación que define a la
velocidad

Podemos escribir esta forma integral como

dt+
C2

 donde C2 es otra constante
de integración. En vista de que v = v0 + at,
esta expresión se convierte en

dt+
C2

dt+C2

x=v0t+at2+C2

Para encontrar C2, se toma en cuenta la
condición inicial de que x = x0
cuando

t = 0.

Esto produce C2 =x0 En
consecuencia, tenemos

(para a
constante)

Ésta es una segunda ecuación
cinemática (ecuación 2.4.4). Recuerde que x-
x0 es igual al desplazamiento del objeto, donde
x0 es su posición inicial.

CAPITULO 3

3.
METODOLOGIAS

3.1. HIPÓTESIS.

3.1.1. HIPÓTESIS
PRINCIPAL

La cinemática de la partícula es un tema
a tratar en el primer ano de la especialidad de Bachillerato;
con estas sólidas bases y a través de la
orientación adecuada lo que se puede obtener es un uso
de la aplicación de las herramientas
a consultar.

A través del uso de la bibliografía que existe y
por medio de la orientación adecuada el investigador
estará a la capacidad de enfrentarse a todos los
elementos necesarios para el análisis y consecución de
resultado al momento de resolver un problema.

3.2. VARIABLES.

3.2.1. VARIABLES DEPENDIENTES:

• Al analizar las hipótesis propuestas este tipo
  de variable se referirá al uso adecuado de los textos de
  consulta en busca de un óptimo rendimiento, es decir se
  refiere a: métodos de estudio y parámetros que
  definen el rendimiento. (investigar bibliografía y
  estudio de herramientas de calculo necesarios)

3.2.2. VARIABLES INDEPENDIENTES:

• Planteo y resolución del ejercicio variados
  referentes al tema del investigador.

3.3 INDICADORES

• Responsabilidad del investigador durante el proceso
  de recopilación y análisis
  bibliográfico, referente a la Teoría y estructura
  que se relacionan con la Mecánica en su
  capítulo pertinente a la presente obra; todo ello,
  engloba la acuciosidad, esmero, eficiencia en
  logros y resultados al reordenar mentalmente lo estudiado al
  respecto del tema, procediendo a desglosarlo y asumirlo desde
  un punto de vista diferente, bajo una óptica de nivel intermedio mucho
  más amplia que sus definiciones básicas ya
  aprendidas.
• Se ha decidido adoptar el método R O A A,
  para llevar acabo el análisis, planteo y
  solución de los diversos ejercicios de
  aplicación hacia los cuales propende el estudio previo
  como fundamento del esfuerzo realizado, en miras de abstraer,
  razonar y concluir en base al desarrollo
  de una cultura y
  mentalidad nacientes con relación al tratamiento de la
  física.

3.4 METODO Y METODOLOGÍA

1. METODO.

En relación a los métodos
específicos de los que se sirve el observador social
crítico que lleva a cabo este proceso reconstructivo,
reorganizativo, investigativo del conocimiento, se ajustan al carácter derivativo de enlace con las
variables los siguientes: observación,
experimentación, inducción, deducción,
análisis y síntesis.

Siendo el tema de análisis el antes elegido
se utiliza sin lugar a dudas el método
científico en sus variantes de consecución:
teorías demostradas y experimentales,
teoremas, definiciones y operaciones
lógicas, instrumentalidad y uso del modelo
matemático pertinente.

3.4.2 METODOLOGÍA.

Además de lo que podría esperar
repasar y aprender acerca de los conceptos físicos
que se estudia en este trabajo, una habilidad muy
útil por desarrollar a partir del curso de la
investigación es la capacidad de
resolver problemas complicados.

La forma en que los físicos se aproximan a
situaciones complejas y las descomponen en piezas manejables
es extremadamente provechosa.

Se ha desarrollado una memoria que
me ayudará a recordar con mas facilidad los pasos
requeridos para resolver con esto los problemas, para
desarrollar la presente investigación la metodología camino al éxito es:

R por recolectar la información
(DATOS)

O por organizar su aproximación
(SOLUCIÓN SISTEMÁTICA)

A por analizar el problema
(SOLUCIÓN MAS ADECUADA)

A por aprender del esfuerzo (NO DEJAR LA
SOLUCIÓN A MEDIAS, NUNCA DESALENTARSE)

Metodología utilizada: R O A
A

3.5 UNIVERSO, MUESTRA
Y LUGAR

El Universo a
inferir en el presente análisis es: "Estudiantes de
Bachillerato en Ciencias, de
Colegios Particulares, con Especialidad Físico –
Matemático", consultados a través de una
Observación tipo Encuesta,
debidamente tratada como una variable discreta, siendo tabulada y
sirviendo de vehículo oportuno para concluir, utilizando
como muestra en dicho análisis a 50 estudiantes
correspondientes a dicho perfil, sin distingo de género. El
estudio se halla centrado en Tungurahua, Ciudad de
Ambato.

3.6 DIAGNÓSTICO: HISTORICIDAD,
ANÁLISIS.

En sentido moderno, esta historia debe entenderse
sobre todo como una historia del pensamiento
científico-físico, pensamiento que tiene contenidos
culturales, formativos, lógicos y filosóficos que
se pueden interpretar como el producto
característico y la herencia del
presente siglo.

Si se considera que el fin de la cultura consiste en
suministrar una imagen unitaria
del mundo, en cuanto sea posible, resulta necesario considerar
también la orientación que en este sentido proviene
de la ciencia.

Todavía mas, la cultura consiste en el logro de
una visión global de la vida y del mundo en que se vive, y
en la posesión de los medios para
poder formar un juicio critico sobre los acontecimientos que
rodean al hombre; esto
implica le necesidad de conocer de modo preciso los fundamentos
de la física moderna.

Por otra parte, la continua especialización, las
investigaciones sobre objetos muy distintos de la
experiencia diaria y el consiguiente uso de un lenguaje
matemático cada ves mas abstracto y complejo, han hecho
que la física tienda a convertirse efectivamente en algo
cada vez mas alejado del mundo común.

Sin embargo, esta dificultad puede evitarse en parte,
limitándose a los fundamentos filosóficos de la
física reciente, que a priori resulta comprensible a todo
en sus aspectos humanísticos.

A este fin es útil recordar las distintas
posiciones tomadas a través del tiempo por los
físicos frente a la Naturaleza.

Se intentará en lo que sigue resaltar los
adelantos de la ciencia reciente, auque no podrá tratarse
de la mayor parte de la física contemporánea dado
su enorme extensión y la dificultad de hacer la historia
de doctrinas que están todavía en
desarrollo.

Por otro lado, habrá que dejar aparte la
crónica histórica, para atender al desarrollo de
los fundamentos de la física y las evaluaciones que
condujeron a todos los cambios relevantes que la
caracterizan.

Pueden apreciarse hasta que punto esta ciencia es
dinámica, no solo en la experiencia moderna, sino
también en su pasado.

Obsérvese, por ejemplo, el cambio experimentado
por los científicos frente a lo conocible como se puede
deducir de los pasajes que a continuación se citan,
escritos por Kepler, Newton, Eddington y Heisenberg.

Decía Kepler: "puesto que yo me he impuesto como
meta conducir al entendimiento humano, con la ayuda del calculo
geométrico, para que pueda otear los caminos de la
Creación, quiera el Artífice de los cielos, el
Padre inmortal de todos los seres inteligentes, al que deben su
existencia todos los sentidos
mortales, ser clemente conmigo y preservarme de decir algo contra
Su obra que no pueda conciliarse con Su majestad e induzca a
error nuestro entendimiento, y hacer, en cambio, que imitemos la
perfección de Su obra creadora santificando nuestra vida";
tal es la profesión de fe de Kepler, quien se consideraba
abiertamente en posición de poder contemplar el plan creador de
Dios e inclinarse reverente ante el santuario así
descubierto. Al mismo tiempo, reafirmaba de la física:
determinar en el manifiesto devenir del Universo, por debajo de
las apariencias y de las formas geométricas, aquello que
permanece constante, es decir, la ley que preside
el devenir mismo.

Las conquistas de la física, al profundizar en
el
conocimiento de la ciencia, permiten también un mejor
conocimiento del hombre, pero presentan las
características de seguir paralelamente cada vez mayor de
renuncias.

Solo 50 años después, escriben ya Newton:
"Yo no soy como me juzga el mundo; a mi me parece que soy un
niño que juega en la playa a orillas del mar y se alegra
cuando encuentra un guijarro más liso que los otros o una
concha más bella, mientras que el gran océano de la
verdad permanece inexplorado ante el."

Por tanto, para Newton el científico se halla
solamente a la puerta de una tierra nueva e infinita, cuyos
limites no puede alcanzar y su misión es
la de analizar, no ya la ley universal, sino cada una de las
muchas leyes particulares.

Sin embargo, quedaba la certeza de conocer el verdadero
comportamiento
de las cosas, cuya mutación se realizaba a través
de su movimiento en el espacio (también la mutación
de las cualidades puede reducirse, como se sabe, al movimiento de
las partes mas pequeñas).

Un ambiente muy
distinto envuelve el pensamiento de Heisenberg cuando escribe,
pasados mas de dos siglos: "Nosotros nos damos cuenta de que no
hay un punto seguro de partida
en los caminos que llevan a los distintos campos de lo conocible,
sino que cada conocimiento esta colgado, en cierto modo, sobre un
abismo sin fondo; que debemos comenzar a partir de algún
"punto intermedio", mientras que los términos utilizados
para hablar de los fenómenos adquieren un sentido mas
preciso poco a poco y solo con su uso ".

Además, en la física clásica.
Newtoniana, se había despreciado siempre la
aportación del sujeto a la investigación,
considerándolo pasivo con relación a los
fenómenos; es decir, el observador se había
olvidado de consumir un sistema físico de
interacción con el objeto observado.

En cambio, he aquí lo que escribió el
astrónomo Eddington en los primeros decenios de nuestro
siglo refiriéndose a las correlación de
incertidumbre de Hesenberg: "Hemos visto que allí donde la
ciencia ha realizado las mayores conquistas el espíritu a
obtenido de la naturaleza lo que el mismo le había
prestado. Sobre las playas de lo desconocido hemos descubierto
una huella misteriosa; hemos construido profundas teorías
para poder explicar su origen. Como resultado hemos conseguido
reconstruir el ser que a dejado esa huella: ese ser lo
constituimos nosotros mismos."

En este sentido, Eddington no teme afirmar
refiriéndose a la interpretación estadísticas-probabilista de cierta
física reciente: "Yo puedo anunciar que esa ciencia que
estudia el mundo físico ha vuelto ya la espalda ya a todos
los modelos
mecánicos semejantes, los cuales se consideran mas bien
como obstáculos para poder compenetrar con la verdad que
se esconden tras los fenómenos sensibles."

A la luz de tales
trascendentales consideraciones, cabe anotar que como un esfuerzo
guiado por ellas, el presente parte de la realidad de latencia
del problema, la apreciación escolástica
clásica de la ciencia física, volviéndola
insípida y sin dejar apreciar toda su real
dimensión.

El llegar a un nivel medio en el análisis,
así como crear la conciencia y
cultura necesarias en el estudiante para enfrentarse de manera
efectiva a futuros retos a nivel superior, son la cima a la que
se pretende llegar con esta investigación

Como ya se dijo, el problema se halla en estado
latente, en espera de más de una propuesta para abordarlo,
estudiarlo, resolverlo y proyectar los resultados en base a una
teoría que permita la consecución de dicha cultura
que devuelva su real disensión a la ciencia
física.

Luego del análisis presentado, se recalca que
este documento resultado del proceso del investigador, no es mas,
sino un pequeño aporte, brindado desde el ángulo
propio orientado a través de la consulta, haciendo uso de
herramientas de última generación en
investigación, como charlas sobre el tema en la red de INTERNET, publicaciones en
el mismo medio global mencionado; bibliografía actualizada
y pedagógicamente autorizada (best seller), revistas
científicas, profesores politécnicos, profesionales
egresados, ……, que entre otros alimentaron el
carácter de la investigación dándoles giros
orientados a cumplir con el objetivo
planteado.

3.7 CRITERIO DEL INVESTIGADOR FRENTE AL
DIAGNÒSTICO

Luego de estudiar, analizar y establecer el
diagnóstico del problema como investigador puedo dar un
criterio que no pretende ser el más correcto; lo que
aspira es cumplir las expectativas de las hipótesis
planteadas, para con esto llegar a concluir ideas y elementos que
pretendan emitir una propuesta valida y realizable.

Al conocer el entorno donde nos desempeñamos como
estudiantes y pudiendo realizar un análisis comparativo
con otros medios se asume que hace falta desarrollar más
el ámbito de razonamiento, como el proceso lógico
que permita esquematizar la solución óptima al
momento de plantear y resolver un ejercicio de aplicación.
Lo cual no quiere decir que no podemos alcanzar este nivel sino
que de una u otra manera cada una de las personas debe empezar
poniendo un gratino de arena para poder llegar a obtener un nivel
elevado y rápido en el razonamiento sin llegar a caer en
el campo opuesto como es el mecanicismo.

CAPITULO 4

4.
COMPROBACION Y DEMOSTRACION DE HIPOTESIS

4.1. Hipótesis Principales

La cinemática de la partícula es un tema
a tratar en el primer ano de la especialidad de Bachillerato;
con estas sólidas bases y a través de la
orientación adecuada lo que se puede obtener es un uso
de la aplicación de las herramientas a
consultar.

A través del uso de la bibliografía que
existe y por medio de la orientación adecuada el
investigador estará a la capacidad de enfrentarse a
todos los elementos necesarios para el análisis y
consecución de resultado al momento de resolver un
problema.

La siguiente es una aplicación del
método científico, de la observación,
inducción, deducción, análisis y
síntesis; plasmada en el grupo de
ejercicios referentes al tema que se han analizado, planteado y
solucionado como parte de la demostración de las
hipótesis principales expuestas:

EJERCICIOS
DEMOSTRATIVOS

EJERCICIO 1:

Un muy conocido problema de la física es el de la
caída libre de los cuerpos, cuya ecuación
diferencial permite despejar la incógnita que el
observador desee, en base a ella halle la expresión que
permite calcular la velocidad de caída de un cuerpo en
función de la altura.

Planteamiento y
solución:

Si no se toma en cuenta la resistencia del aire, esta
ecuación es:

(1)

Para obtener un resultado que nos interesa en los
siguientes problemas adelantaremos su solución:

Si hacemos se puede obtener la segunda derivada del espacio
con

respecto al tiempo en función de la velocidad y
su derivada con respecto a s. así:

(2)

Integrando ambos miembros de esta última igualdad se
obtiene:

(3)

Una condición física del problema es
velocidad v=0 cuando espacio s=h. Esto nos permite obtener la
constante de integración c.

La ecuación (3) resulta ser entonces:

Cuando s = 0, esto es, cuando el cuerpo ha llegado al
suelo, se obtiene la velocidad final de un cuerpo que cae desde
una altura h:

Formula muy conocida por el estudiante
secundario.

EJERCICIO 2:

Una partícula se mueve a lo largo del eje
x. Su coordenada x varía con el tiempo de
acuerdo con la expresión:

x = -4t + 2t², donde x está
en metros y t en segundos.

La gráfica posición-tiempo para este
movimiento se muestra en la figura.

Advierta que la partícula se desplaza en la
dirección x negativa en el primer segundo del
movimiento, que está en reposo en el momento t = 1s, y que
después regresa a la dirección de x en t
> 1 s.

1. t =0 s t = 1 s y t = 5 s

   Para ver el gráfico
   seleccione la opción
   "Descargar" 

   Gráfica posición-tiempo para una
   partícula que tiene una coordenada x que
   varía en el tiempo de acuerdo con la
   expresión x = -4t + 2t²

   Planteamiento y
   solución:

   En el primer intervalo de tiempo se
   establece que t1 = 0 y t2 =
   1s.

   Como x = -4t + 2t², se tiene:

   

   

   

   En el segundo intervalo de tiempo se admite que
   t1 = 1 s y t1 = 3s. Por tanto, el
   desplazamiento en este intervalo es

   

   

   

   Estos desplazamientos también pueden
   leerse directamente de la gráfica
   posición-tiempo

2. Determine el desplazamiento de la partícula en
   los intervalos de tiempo:

   En el primer intervalo de tiempo, . En consecuencia,
   con la ecuación 2.2 con los resultados de a) se
   obtiene

   

   En el segundo intervalo de tiempo, t = 2s. Por lo
   tanto,

   

   Estos valores concuerdan con las pendientes de
   las líneas que unen estos puntos en la
   figura

3. Calcule la velocidad promedio en los intervalos de
   tiempo t = 0 a t =1s y t = 1s a t = 3s
4. Encuentre la velocidad instantánea de la
   partícula en t = 2.5s

Planteamiento y
solución:

Al medir la pendiente de la gráfica
posición-tiempo en t = 2.5s, se encuentra que v = +6m/s.
También se pueden utilizar la ecuación 2.4 y las
reglas del cálculo
diferencial para encontrar la velocidad a partir del
desplazamiento.

Por tanto, es t = 2.5s.

V = 4(-1+2.5) = +6 [m/s]

EJERCICIO 3:

La velocidad de una partícula que se mueva a lo
largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo con la
expresión v = (40-5t²) m/s, donde t se mide en
segundos.

1. Encuentre la aceleración promedio en el
   intervalo de tiempo

t = 0 a t = 2.0 s.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" 

Gráfica velocidad-tiempo para una
partícula que se mueve a lo largo del eje x según
la relación v = (50-5t²)m/s. Observe que la
aceleración en t = 2s es igual a la pendiente de la
línea tangente verde en ese tiempo.

Planteamiento y
solución:

La gráfica velocidad-tiempo para esta
función se presenta en la figura 2.10. Las velocidades en
tf = 0 y tf = 2.0s se determinan al
sustituir estos valores de t en la expresión dada para la
velocidad.

V1 = (40-5ti²)m/s =
[40-5(0)²]m/s = +40m/s

Vf = (40-5t1²)m/s =
[40-5(2.0)²]m/s = +20m/s

Por tanto, la aceleración promedio en el
intervalo de tiempo especificado es

Por tanto, el cambio en la velocidad sobre el intervalo
de tiempo es

Si se divide esta expresión entre t y si se toma el
límite del resultado cuando t tiende a cero se obtiene la
aceleración en cualquier tiempo t

Por consiguiente, en t = 2.0s, se obtiene

a = (-10)(2.0)m/s² = -20m/s²

Este resultado también puede obtener al medir la
pendiente de la gráfica velocidad-tiempo en t=20s. Observe
que la aceleración no es constante en este
ejemplo.

EJERCICIO 4:

El automóvil deportivo
supercargado

Un fabricante de cierto automóvil afirma que su
auto deportivo de superflujo acelerará desde el reposo
hasta una rapidez de 42.0m/s en 8.00s.En el improbable caso de
que la aceleración sea constante: a)Determine la
aceleración del automóvil en m/s²

Planteamiento y
solución:

Advierta primero que vo = 0 y que la
velocidad después de 8.00 s es v = 42.0 m/s. Puesto que
nos dan v0, v y t, se puede utilizar v = v0
+ at para encontrar la aceleración.

En realidad, ésta es una aceleración
promedio, pues es improbable que un auto acelere
uniformemente.

b) Encuentre la distancia que el automóvil
recorre en los primeros 8.00s

Planteamiento y
solución:

Consideremos como origen del auto su posición
original, por lo tanto, x0 = 0.Con la ecuación
2.10 descubrimos que

c) ¿Cuál es la rapidez del
automóvil 10.0s después de que inicia su
movimiento? Suponga que continúa acelerando a la tasa
promedio de 5.25 m/s²

Planteamiento y
solución:

También en este caso v = v0 + at, pero
esta vez con v0 = 0, t = 10.0 y a =
5.25m/s²

V = v0 + at =0 + (5.25m/s²) (10.0s) =
52.5m/s

EJERCICIO 5:

Aceleración de un
electrón.

Un electrón en el tubo de rayos catódicos
de un televisor entra a una región donde se acelera de
manera uniforme desde una rapidez de 3.00 x 104m/s.
Hasta una rapidez de 5.00 x 106 m/s en una distancia
de 2.00 cm a) ¿durante cuánto tiempo el
electrón está en la región donde se
acelera?

Planteamiento y
solución:

Como la dirección del movimiento será a lo
largo del eje x, con la ecuación 2.10 se determina t,
puesto que se conocen el desplazamiento y las
velocidades.

= 7.95 x 10-9 s

b) ¿Cuál es la aceleración del
electrón en esta región?

Planteamiento y
solución:

Para encontrar la aceleración se emplea v =
v0 + at y los resultados de a):

= 6.25 x 1014 m/s²

Si bien en este ejercicio la aceleración es muy
grande, ocurre en intervalos de tiempo muy cortos y es un valor
característico en partículas cargadas en
aceleradores.

EJERCICIO 6:

Un punto que se mueve a lo largo del semieje positivo x
con una velocidad inicial de 12 m/s sometido a una fuerza
retardadora que le comunica una aceleración negativa. Si
la aceleración varía linealmente con el tiempo
desde cero hasta –3m/s² durante los cuatro primeros
segundos de aplicación de la fuerza, y permanece constante
durante los 5s siguientes, según se indica, determinar (a)
la velocidad en el instante t = 4 s, (b) la distancia recorrida
más allá de la posición en t = 0 hasta el
punto donde invierte el sentido de su movimiento y (c) la
velocidad y posición de la partícula cuanto t =
9s.

Planteamiento y
solución:

El examen de las curvas a-t y v-t de este movimiento, de
las relaciones buscadas con un mínimo de cálculos.
Como el área limitada por la curva a-t, la cual es
conocida, da la variación de velocidad, la velocidad en t
= 4s está dada por:

V4 – 12 = -6, v = 6 m/s

La expresión de v durante el intervalo de 4s se
obtiene integrando la primera de las ecuaciones. Así
pues

Donde a = -3t/4 en este primer intervalo. La
representación gráfica de v es la representada. El
desplazamiento durante este intervalo es la integral de la
ecuación:

Más allá de t = 4s, la pendiente de la
curva v-t es la aceleración constante –3m/s² y
se extiende fácilmente la recta de la velocidad hasta t =
9s. De la geometría
de la figura se ve que v = 0 cuando t = 6s. Como el área
limitada por la curva v-t da la variación de velocidad, la
partícula ha recorrido una distancia
máxima.

Hasta el punto en donde invierte el sentido de su
movimiento en t = 6s.

El área total limitada por la curva v-t para los
9s da la posición final o desplazamiento total.

X = 40 + 6 – (3)(9) = 32.5 m

La velocidad final se ve que es –9 m/s

EJERCICIO 7:

La aceleración a de una corredera unida a un
resorte es proporcional a su desplazamiento s a partir de la
posición de fuerza de resorte nula y está dirigida
en sentido contrario al del desplazamiento. La relación
existente es a = – k²s, donde k es una constante. (La
constante k se eleva arbitrariamente al cuadrado por ser ello
más conveniente para la forma de las expresiones que
saldrán). Si la velocidad de la corredera es v0
cuando s = 0 y si el tiempo t es cero cuando s = 0, determinar el
desplazamiento y la velocidad en función de t.

Planteamiento y solución
I

Como se especifica la aceleración en
función del desplazamiento, podremos integrar la
expresión v dv = ad. Así pues.

una
constante

o sea

Cuando s = 0, v = v0, con lo que
Cq = v02/2, y la velocidad
será:

Se toma el signo más del radical
cuando v es positiva en el sentido positivo de las s. Esta
última expresión puede integrarse sustituyendo v =
ds/dt. Así.

una constante

o sea

Con el requisito de que t = 0 cuando s = 0, la constante
de – integración se hace C2 = 0 y puede
despejarse s con lo que.

La velocidad es v = s lo cual da

V = v0 cos kt

Se observa que tanto s como v son funciones
periódicas del tiempo. El período r es el tiempo
que se tarda en realizar una oscilación completa, durante
el cual el argumento del coseno aumenta en 2.

Así k(t + r) = kt + 2 y r = 2/k. La frecuencia f del movimiento es el
número de oscilaciones o ciclos completos por unidad de
tiempo y es f = 1/r = k/s.

Este movimiento recibe el nombre del movimiento
armónico simple y es característico de todas las
oscilaciones en las que la fuerza restauradora y por tanto la
aceleración, es proporcional al desplazamiento pero de
signo contrario.

Planteamiento y solución
II:

Como a = , la relación dada puede escribirse en la
forma.

+ k²s = 0

Esta es una ecuación diferencial
lineal de segunda orden cuya solución se conoce y
es

S = A sen kT + B cos Kt,

Donde A, B y K son constantes. Sustituyendo esta
expresión en la ecuación diferencial, se ve que la
satisface si K = k. La velocidad es v = y queda.

V = Ak cos kt – Bk sen
kt

La condición límite v = v0
cuando t = 0 exige que A = v0/k, y la condición
s = 0 cuando t = 0 da B = 0. As{i pues, la solución
es:

y v =
v0 cos kt

EJERCICIO 8:

Una fuerza retardadora de 3s de duración
actúa sobre una partícula que se mueve hacia
delante con una velocidad de 60m/s. El registro
oscilográfico de la desaceleración se presenta en
la figura. ¿Cuál es la velocidad de la
partícula para t = 9s?

Planteamiento y
solución:

Observando el gráfico se deduce:

Para el tramo AB, a = 0 v = cte VB = 60m/seg

Para el tramo BC, a= cte = -4g, t = 3, VB =
60 m/seg

VC = ?

vC = -57.6m/seg

Para el tramo CD, a = 0
v =
cte

vD = VC = -5.6
n/sg

EJERCICIO 9:

Un proyectil se dispara en un medio resistente con una
velocidad v1, y queda sometido a una
aceleración de frenado igual a cvn, donde c y n
son constantes y v es la velocidad en el medio. Hallar la
expresión de la velocidad v del proyectil en
función del tiempo t de penetración.

Planteamiento y
solución:

V0 = v1

a = -cvn integrando:

v(t) = ?

Despejando v:

EJERCICIO 10:

Un objeto se mueve a lo largo de una recta con
aceleración constante. En el instante .t = 0, el
desplazamiento es +4 m y al cabo de 10 s es –6m. El objeto
pasa por una posición de reposo instantáneo cuando
t = 4s.

Calcular la velocidad inicial v en t = 0

Planteamiento y
solución:

X3 = -6m x2 = ? x1 =
4m

T = 10 seg v2 = 0 v1 =
?

T = 4 seg t = 0

Considerando 2 tramos:

Analizando el tramo (1) tenemos:

analizando el tramo (2):

Igualando

-8a + 4 = -6 – 18a a = -1m/seg²

Reemplazando

V1 = 4m/seg

EJERCICIO 11:

La aceleración de arranque a de un
vehículo experimental se mide experimentalmente durante
una fase de su movimiento y se representa en una gráfica
en función del desplazamiento. En la posición 15m,
el mecanismo motor desliza
bruscamente, y la aceleración presenta una
discontinuidad.

Si el vehículo tiene en s = 6m una velocidad de
12 km/h, representar la velocidad durante la fase de movimiento
considerada. Calcular la velocidad en s = 21m

Planteamiento y
solución:

Aproximadamente las curvas a rectas considerando los
puntos extremos para hallar sus ecuaciones e
interpolando:

Para el tramo (1) consideraremos los puntos.

(s,a) = (6, 0.6) y (15, 2)

Como:

v15 = 5.8 m/seg

Analizando el tramo (2) y considerando que la velocidad
no varía cuando el mecanismo motor desliza
tenemos:

Considerando los puntos:

Considerando (s,a) = (15, 1.4) y (21, 0.35)

Como:

EJERCICIO 12:

Un móvil se mueve en línea recta con una
velocidad cuyo cuadrado de decrece linealmente con el del
desplazamiento entre dos puntos A y B que distan 30m entre
sí. Determinar el desplazamiento delincuente móvil durante los 2s
que preceden la llegada a B.

Planteamiento y
solución:

Hallando la ecuación de la recta que pasa por los
puntos (x, v²) = (45, 120) (15, 270)

Resolviendo la integral para hallar el tiempo en
alcanzarse x = 45m

Dos segundos antes de llegar a B al tiempo
será:

El desplazamiento alcanzado en este tiempo
será:

Luego será:

=
xt – xt’ = 45 – 18.091 =
26.909m

EJERCICIO 13:

La aceleración vertical de un cierto cohete de
combustible sólido viene dada por a = que-bt
–cv – g, donde k, b, y c son constantes, v es la
velocidad vertical adquirida, y g es la aceleración de la
gravedad, esencialmente constante durante el vuelo en la atmósfera. El
término exponencial representa el efecto delincuente
empuje decreciente a medida que el combustible quema y el
término –cv es el delincuente frenado debido a la
resistencia atmosférica.

Determinar la expresión de la velocidad vertical
del cohete t segundos después delincuente
encendido.

Planteamiento y
solución:

a = que-bt – cv – g

t = 0 v0 = 0

v = v(t) = ?

sabemos que:

.
Diferencial lineal en v.

Resolviendo:

Como cuando t = 0 v = 0

Luego se tiene:

EJERCICIO 14:

La velocidad v de una partícula que se mueve con
movimiento rectilíneo varía linealmente con su
desplazamiento s desde 6.6 m/s a 26.6 m/s durante un
desplazamiento de 133.3 nm. Hallar la aceleración a de la
partícula en el punto medio del recorrido de 133.3
m.

Planteamiento y
solución:

Nos pide la aceleración en el punto C.

Se sabe; que la velocidad varía linealmente con
respecto al espacio por lo tanto a(s) es constante durante todo
el recorrido.

Sabemos:

de donde: ac = 2.49 m/sg²

EJERCICIO 15:

Una partícula que se mueve a lo largo del eje x,
ocupa la posición, a partir del origen, para t = 0, x = 40
cm y posee una velocidad x = -25 cm/s. Si la aceleración
de la partícula es constante e igual a x = +5 cm/s²,
calcular la coordenada x1 de la posición de la
partícula cuando cambia de dirección. Hallar
también el tiempo t necesario para volver al punto de
partida.

Planteamiento y
solución:

DATOS:

X = 40 cm

= +5
cm/sg²

x1 = ?

=
?

= 0 en
el momento que cambia de dirección

Se sabe:

de donde: x1 = -22.5 cm

graficando el movimiento:

Para hallar el tiempo necesario para volver al punto de
partida, v0 = 0

EJERCICIO 16:

Una partícula se mueve a lo largo del eje y con
una aceleración constante y = 1.22 m/s². Si [ara t = 0 su
posición es y = -30.48 m y su velocidad es = -12.19 m/s, determinar
la coordenada y de la partícula para t = 30s.

Planteamiento y
solución:

Para t = o

= 1.22
m/seg²

Nos piden el espacio (y1) para t = 30
sg.

y1 = 183.3 nt.

Graficando:

Observando el gráfico:

Y1 = 183.3 – 30.48

Y1 = 152.8 m

EJERCICIO 17:

Una partícula tiene una velocidad de 6.6 m/s en
la dirección negativa de s para t = 0. Si la
partícula está sometida a una fuerza en la
dirección positiva de s que produce la aceleración
a según se indica, hallar la velocidad v de la
partícula para t = 10s y el desplazamiento s durante este
tiempo.

Planteamiento y
solución:

Por la ecuación de la recta.

Considerando los puntos:

(t,a) = (0, 0.6) (10, 1.8)

a = 0.12t + 0.6

…… (I)

v = 5.4 m/sg

De (I) Integrando de 0 a t:

s = 16 m

EJERCICIO 18:

Una partícula parte del reposo para s = 0 y t = 0
moviéndose en la dirección positiva de s con una
aceleración que varía linealmente con el
desplazamiento tal como se indica.

Calcular la velocidad v que tendrá la
partícula cuando se haya desplazado s = 30.48m. Hallar
también el tiempo t necesario para que alcance dicho
punto.

Planteamiento y
solución:

Por la ecuación de la Recta:

Considerando los puntos: (s, a) = (0, 0.6), (30.5,
1.8)

v = 8.55 m/seg

De (I) Integrado de "0" a "V" y de "0" a "S":

Integrando: t = 8.76 seg.

EJERCICIO 19:

Un electrón, a partir del reposos, tiene
una aceleración que aumenta linealmente con el tiempo,
esto es, a = kt, siendo el cambio de aceleración k = (1.5
m/seg²)/seg. (a) Hacer una gráfica de a en
función de t durante el primer intervalo de 10 seg. (b) A
partir de la gráfica de la parte (a), hacer la
gráfica correspondiente a la variación de v
en función t y calcular la velocidad del
electrón 5.0 seg después de que comienza su
movimiento. (c) A partir de la gráfica de v en
función de t de la parte de t y calcular
cuánto ha avanzado el electrón durante los primeros
5.0 seg. De su movimiento.

Planteamiento y
solución:

K = (1.5 m/seg²)/seg

c) Dejamos para el lector; deberá considerar
que:

EJERCICIO 20:

La posición de una partícula que se mueve
el eje de las x es función del tiempo, de acuerdo con la
ecuación, en la cual

en la cual vxo y k son constantes, (a) Hacer
una gráfica de x en función de t. Nótese que
x = 0 para t = 0 y que x = vxo/k para t = ; es decir, la distancia
total que se mueve la partícula es vxo/k. (b)
Demostrar que la velocidad vx está dada
por

Vx =
vxoe-kt

De manera que la velocidad disminuye exponencialmente
con el tiempo a partir de su valor inicial vxo
llegando a anularse solamente al cabo de un tiempo infinito.
© Demostrar que la aceleración ax
está dada por la expresión.

Ax =
-kvx

De manera que la aceleración está dirigida
en sentido contrario a la velocidad y tiene una magnitud
proporcional a la rapidez.

d) Este movimiento es de aceleración variable.
Mediante razonamientos físicos aceptables explicar
cómo puede ocurrir que se requiera un tiempo infinito para
poner en reposo una partícula que recorre una distancia
finita.

Planteamiento y
solución:

Dato:

Vxo y k constantes.

a) sabemos:

b) Además:

pero; en el paso se demostró que vx =
vxo e-kt, por tanto; ax = –
kvx

CAPITULO 5

5.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

1. CONCLUSIONES

Luego de llevada a cabo la presente
investigación, al desarrollar cada uno de sus pasos, con
el constante esfuerzo entregado a la misma, se ha llegado al
final de este interesante y enriquecedor proceso; por ello,
merece mencionar que dado el carácter del trabajo, su
demostración va implícita en la misma experiencia
que como autor he conseguido, tal cual en la historicidad y
análisis, previos a diagnosticar el tema, se ha subido un
par de escalones en relación a la concepción de la
ciencia física, la cual bien vista y sin rebajarse a su
instrumentalidad medieval, por sí sola, es mas que un
quehacer de asignar números que codifiquen a los
fenómenos naturales; es pilar y es frontera, da lazos y
abre puertas, es un laberinto y es camino; hoy, por todo ello que
engloba, estoy en capacidad de emitir el criterio que ha nacido
al rondar por los pasajes que se han recorrido en el presente
proceso de investigación.

Tal como se ha manifestado el criterio del autor, sin
ser verdad absoluta, ni paradigma sin
par, las siguientes son conclusiones válidas que se
interrelacionan como a continuación se expone respecto a
las hipótesis que durante este formal avance se han
pretendido demostrar:

• El tema Cinemática de la partícula,
  tratado en el primer año de bachillerato, se ha
  reducido a una simple instrumentación de definiciones
  aplicables, casi mecánicamente, sin llevar al
  estudiante en la mayoría de los casos a un verdadero
  primer análisis, que en base a su propio esfuerzo le
  permita generar una cultura entorno al tema, la cual le
  libraría de más de un grave error que se
  cometen al momento de emitir un juicio que permita elevar una
  idea, en el instante de resolver un ejercicio de
  aplicación.
• Se concluye, que cualquier estudiante que desee
  profundizar respecto al tema estudiado, deberá primero
  analizar su entorno matemático, la estructura sobre la
  cual a fundamentado el conocimiento de la Física;
  pero, sin lugar a duda, sea cual fuere dicho antecedente,
  todo estudiante se encuentra en capacidad de asumir el reto;
  más aún, cuando hoy existe como se
  demostró infinita gama de posibilidades,
  bibliografía, foros virtuales, motores de
  búsqueda en la red INTERNET; ETC…., lo que
  siguen siendo actual es que quien paga el precio del
  esfuerzo, dedicación, asume un método y es
  sistemático en su intento, seguro obtendrá
  buenos y óptimos resultados.
• Es evidente, que actualmente guiar y ser guiado van
  de la mano, la información viaja en progresión
  geométrica, se concluye entonces que todo lo que nos
  rodea en relación al tema tratado, enriquece y da
  múltiples matices, ángulos y formas de
  interpretar el fenómeno de la cinemática de
  traslación; mas, todos convergen en la estructura
  establecida que vuelve a sus bases y se potencia
  cuando se la reconoce dentro de la aplicación del
  cálculo matemático
• Una consecuencia del análisis realizado a
  bibliografía técnica, actualizada y autorizada
  por su reconocimiento a nivel mundial, es el adoptar como
  propios varios modelos y esquemas de planteo, pasos,
  secuencia lógica; y muchos otros aspectos al
  momento de resolver un problema.
• Cuando uno ve la orilla del mar y nada en ella,
  piensa "el mar es seguro y no me ahogaré"; en altamar
  solo antagónica puede ser la visión al
  respecto, al terminar nace la conclusión de que no por
  mucho investigar se esta en la punta de la pirámide,
  siempre abra algo más; y, alguien que este por encima
  observándonos.

5.2 RECOMENDACIONES

• Una recomendación clara y sencilla es
  incentivar a la juventud a
  la auto consulta, lo cual da como resultado la
  personalización de la
  educación para enfrentar el mundo que esta lleno
  de cambios y enigmas que los debemos comprender para estar
  actualizados los mismos que nos permiten vivir en un siglo
  globalizado en el cual la información viaja de una
  manera vertiginosa y puede ser fácilmente
  modificada.
• La recomendación para el lector es que no
  hemos realizado un solucionarlo, ni tampoco se propone el
  único camino para el estudio del tema tratado, se debe
  recordar que este fue un trabajo de nivel intermedio que
  conlleva al conocimiento básico necesario para el
  tratamiento del tema objeto de la
  investigación
• Es importante recalcar que a la ciencia
  física se la debe tratar sin creer que es el simple
  hecho de aplicar formulas o memorizar esquemas, definiciones,
  conceptos; sino mas bien, asumir la postura de
  autocrítica continua en búsqueda de la
  creación de un razonamiento lógico
  propio.

CAPITULO 6

6. PROPUESTA

6.1 INTRODUCCIÓN

El mundo a diaria va teniendo varios cambios
considerables en distintos ámbitos pero el nuestro es en
especial en la física y matemáticas ya que ha
tenido cambios significativos; es por eso que el estudio de los
intereses vocacionales y profesionales de los alumnos que
terminan el nivel de instrucción secundario reviste suma
importancia, ya que sus conocimientos permite desarrollarse de
mejor manera en la etapa universitaria en donde con el menor
esfuerzo logre el mayor de los éxitos y
eficiencia.

Es por eso que esta propuesta trata de dar algunas ideas
para desde el colegio empezar orientando de mejor manera al
estudiante para desarrollar el ámbito investigador al cien
por ciento, con el cual alcanzaran niveles de razonamiento mas
elevados a los tradicionales, con los cuales puedan enfrentar las
dificultades que se le puedan presentar en el camino de la
educación.

A causa de esto ponemos en consideración a
ustedes señores lectores este pequeño trabajo, que
no tiene otro fin de despertar el sentimiento científico
en los estudiantes y profesores del área de ciencias
exactas para lograr tener bachilleres idóneos y capaces de
contribuir en este campo científico.

6.2 POLÍTICAS
Y OBJETIVOS

6.2.1 POLITICAS

La política más
importante que se trata de considerar como una herramienta
básica para finalizar con gran éxito el trabajo
propuesto será la constancia, la disciplina y
el cumplimiento de todas y cada una de las actividades
encomendadas a todos y cada uno de los encargados en realizar
estas actividades, sin importar el tiempo como también los
medios y materiales que
ellos requieran en clases o fuera de ellas.

6.2.2 OBJETIVOS

6.2.2.1 OBJETIVO GENERAL

• Adaptar un cambio en la planificación curricular en el proceso de
  Inter. Aprendizaje de
  la materia de física con todos los temas y problemas que
  se nos presente, tratando de poner énfasis en la
  aplicación de este tema analizado al trascurso de la
  presente investigación como así la
  aplicación del mismo en la vida diaria.

6.2.2.2 OBJETIVOS
ESPECIFICOS

• Fomentar la creación de un grupo selecto que
  se desempeñen en el área de física y
  matemáticas con los estudiantes mas representativos de
  cada curso de la especialidad para poder analizar los problemas
  que ocurren en la actualidad y poder prepararse para participar
  en concursos científicos referentes a las materias que
  se especializa el grupo
• Crear el ambiente mas idóneo, que permita
  desarrollar la labor investigativa, la fomente y determine
  metas claras y realizables para aquel estudiante que desee
  aceptar el reto de ir mas allá de lo que le han abierto
  las puertas en el aula.
• Crear conciencia en todos los estamentos que forman
  parte del proceso educativo sobre la importancia de la lectura
  científica, de la investigación
  bibliográfica, de expandir las fronteras del
  conocimiento dentro de los limites y pre requisitos sin sobre
  dimensionarse, pero tampoco subvalorándose.

6.3 ESTRATEGIAS

para la realización de dichos objetivos se
deberá aplicar diferentes técnicas como:
análisis de material de apoyo en forma grupal y personal,
confrontaciones sobre opiniones acerca del tema, de convivencia y
conflicto,
lluvia de ideas, técnicas especificas de la
educación en valores.

Todas estas técnicas serán conducidas
mediante la metodología de mediación educativa como
puede ser la donación de materiales por parte de empresas privadas
o recaudación de dinero como ya
se ha venido haciendo y como un factor primordial la
utilización de nuevas metodologías por parte de
profesores para proporcionar mejor grado de conocimientos a la
juventud.

6.4 RESUMEN

6.4.1 CINEMÁTICA

Cinemática es la parte de la física que
estudia el movimiento de los cuerpos desde un punto de vista
geométrico, sin considerar las causas que lo producen. La
descripción del movimiento de un cuerpo se realiza e
acuerdo con un sistema de referencia. Este sistema de referencia
puede ser fijo o móvil.

La cinemática se desarrolla fundamentalmente a
partir de las mediciones de la posición del cuerpo
estudiado en función del tiempo.

6.4.1.1Vectores

Vector posición (r)

El vector posición determina la ubicación
de un punto con respecto a otro punto que generalmente es el
origen del sistema de referencia utilizando para describir el
movimiento.

El vector posición puede expresarse en diferentes
formas, por ejemplo:

• coordinas polares:
• Coordenadas rectangulares: r = (x, y, z)
• En función de los vectores
  unitarios normalizados: r = xi + yj + zk

Vector desplazamiento (r)

El vector desplazamiento es el cambio de posición
que experimenta una partícula durante un intervalo de
tiempo dado.

Operaciones lineales con vectores

Suma y Resta: Sean los vectores A y B en términos
de los vectores i, j, k. La suma se define así:

A = Ax i + Ay j + Az
K

B = Bx i + By j + Bz
K

A + B = (AX + BX) I +
(AY + BY)j + (AZ +
BZ) k

La diferencia o resta sera:

Producto de un escalar por un vector. El producto de un
escalar por un vector da como resultado un vector paralelo al
primero. Sea el escalar n y el vector A. El producto es nA =
R

Si n es (+), R y A tienen la misma
dirección

Si n es (-), R y A tienen dirección
contraria.

Producto de vectores

Hay dos formas de realizar el producto de vectores: el
producto escalar o punto y el producto vectorial o
cruz.

Producto escalar o punto

El producto escalar o punto de dos vectores da como
resultado una cantidad escalar.

Dados los vectores A y B

el producto escalar de los dos será:

A. B = AB cos donde

A. B = AxBx + AyBy + AzBz

Producto vectorial o cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores da como
resultado un tercero vector.

Sean los vectores A y B

A = Ax i + Ay j + Az K
y B = Bx i + By j + Bz
K

A x B = C C = AB sen donde:

El vector C es perpendicular tanto a A y a B y su
dirección se define según la regla de la mano
derecha

6.4.1.2VELOCIDAD

Velocidad media

Es la relación entre la variación de la
posición de la partícula (desplazamiento) y el
intervalo de tiempo utilizado en realizar dicha
variación.

Velocidad instantánea

Es la velocidad que tiene la partícula en un
instante o en un punto de la trayectoria. Es un vector tangente a
la trayectoria en un punto.

Matemáticamente es el límite cuanto
tiende a cero de
la aceleración así:

La rapidez es la magnitud de la velocidad
instantánea.

Movimiento relativo

La posición (r), el desplazamiento y la velocidad (v)
dependen del sistema de referencia, respecto del cual se definen.
Esto significa que su valor es relativo.

La posición relativa de un cuerpo A con respecto
a otro B, se definen de acuerdo con la siguiente
relación.

De igual manera, la velocidad relativa de un
móvil A con respecto a otro móvil B se define
mediante una relación similar:

VA/B = VA –
VB

6.4.1.3ACELERACIÓN

El vector aceleración (a) es la variación
de la velocidad por unidad de tiempo. Al igual que la velocidad,
la aceleración puede ser media o instantánea.
Cuando la aceleración se define para un intervalo de
tiempo, se obtiene la aceleración media y al definirla
para un instante (cuando el intervalo de tiempo tiende a cero),
se obtiene la aceleración instantánea. Las
relaciones que definen a la aceleración como media e
instantánea son las siguientes:

Aceleración media: am = v/t

Aceleración instantánea:

La aceleración puede descomponerse vectorialmente
en dirección de la velocidad (dirección tangencial)
y en dirección perpendicular a la velocidad
(dirección centrípeta o normal). La componente
tangencial de la aceleración define el cambio de la
magnitud de la velocidad (rapidez) por unidad de tiempo; mientras
que, la componente centrípeta define la variación
de la dirección de la velocidad por unidas de
tiempo.

Cuando la velocidad de una partícula cambia en
magnitud y en dirección, la aceleración
tendrá las componentes tangencial y normal diferentes de
cero, por lo que se cumplirá la siguiente
relación:

6.4.1.4 Movimiento rectilíneo

Clasificación de los
movimientos

En función de la velocidad

1. uniforme

v = cte

aT = 0

1. Rectilíneos 1.2 uniformemente
variado

uv = cte v cambia uniformemente

aN = 0 pero cte.

1. variado

v cambia no uniformemente

1. uniforme

v = cte

aT = 0

2. Curvilíneos 2.2 uniformemente
variado

v
cambia uniformemente

pero
cte

2.3 variado

v cambia no uniformemente

Movimiento rectilíneo uniforme
(MRU)

Es un movimiento de las siguientes
características:

* Trayectoria rectilínea

v= cte a = o

* la magnitud de la velocidad constante

Las ecuaciones fundamentales de este movimiento
son:

r1 = ro + v(t – to)

v =
cte a = 0

También se puede describir o analizar un
movimiento con ayuda de tres gráficos fundamentales que
son:

• el gráfico contra tiempo (x contra y, y contra
  t, z contra t)
• el gráfico velocidad contra tiempo
  (vx contra t, vy contra t, Vz
  contra t)
• el gráfico aceleración contra tiempo
  (ax contra t, ay contra t, az
  contra t)

Para el MRU, estos gráficos con sus propiedades
se indican a continuación:

Movimiento rectilíneo uniforme variado
(MRUV)

Es un movimiento de las siguientes
características:

* trayectoria rectilínea

* la magnitud de la velocidad cambia

uniformemente

Haciendo un resumen de las ecuaciones fundamentales de
este movimiento tenemos:

   ax = cte

a = cte ay = cte

az = cte

Los gráficos fundamentales para este movimiento
se indican a continuación:

Pendiente cuerda = vmx pendiente cuerda =
amx Area =

Pendiente tarjeta = vxl pendiente tangente = axl
Área =

Caída libre

Es el movimiento que describe un cuerpo cuando
está sometido exclusivamente a la aceleración de la
gravedad (no se considera entonces la resistencia del aire), la
misma que, cuando se trabaja con alturas relativamente
pequeñas comparadas con el radio de la
Tierra, se puede considerar aproximadamente constante e igual a
9.8 m/s²

Como se trata de un movimiento vertical (a lo largo del
eje y) y la aceleración constante, podemos utilizar
exactamente las mismas ecuaciones que desarrollamos anteriormente
para movimientos de aceleración constante, o
sea:

ay = -9.8m/s² = -10m/s²

En este tipo de movimiento se suelen definir algunas
otras variables específicas que son:

• Tiempo de subida (ts): es el tiempo que se demora un
  cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba, en llegar al
  punto más alto. Para calcular este tiempo no es
  necesario desarrollar otra fórmula, basta considerar que
  para que el cuerpo llegue al punto más alto vyt =
  0
• Altura máxima (ym): es la máxima altura
  hasta la que puede llegar un cuerpo que es lanzado
  verticalmente hacia arriba. Para calcular esta altura basta
  considerar también que para que llegue al punto
  más alto es necesario que su vyt = 0
• Tiempo de vuelo (tv): es el tiempo total que
  permanece el cuerpo en movimiento. Este tiempo no siempre es
  igual al doble del tiempo de subida.

6.4.1.5 MOVIMIENTO
RECTILÍNEO

Consideremos una partícula P que se mueve
siguiendo una línea recta en el sentido positivo de las s,
(figura 1).

Su desplazamiento lineal s se mide a partir de un punto
fijo conveniente de referencia 0. Durante el tiempo t el punto P recorre una
distancia s y su
"velocidad media" durante t es:

La "velocidad instantánea" y de la
partícula P en una posición cualquiera de su
trayectoria es el valor del límite del cociente anterior
cuando t tiende a
0, o sea:

lo cual puede también escribirse de la siguiente
forma:

Si v es
la diferencia entre las velocidades instantáneas de la
partículas en las posiciones P y P´, la
"aceleración mediante durante el intervalo de tiempo
t,
correspondiente se define como el cociente entre v y t.

Será positiva si la velocidad
aumenta y negativa si la velocidad disminuye.

La "aceleración instantánea" de la
partícula en una posición cualquiera de su
trayectoria es el límite al cual tiende al cociente
anterior cuando t
tiende a cero y se escribe:

La cual puede escribirse de la siguiente
forma:

también podemos obtener otra
expresión de la aceleración despejando dt de las
ecuaciones (1) y (2) e igualando miembro a miembro, de donde
obtenemos:

Las ecuaciones obtenidas 1, 2 y 3 son las
ecuaciones
diferenciales del movimiento rectilíneo.

6.4.1.6 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA
PARTÍCULA

La aceleración de la partícula se puede
expresar en fundición de una ó más
variables: s, v, t y para hallar la posición s en
función de t, será necesario utilizar dos
integraciones sucesivas.

1. De la ecuación (2) despejamos
   dv, luego reemplazamos "a" por a(t) se tiene:

   Dv = a(t) dt, integrando miembro a
   miembro

   

   La cual define la velocidad en función del
   tiempo.

   Reemplazando las integrales indefinidas por
   integrales definidas con límites inferiores
   correspondientes a las condiciones iniciales y con los
   límites superiores correspondientes a t = t y v = v,
   tenemos:

   

   La cual expresa la velocidad en función del
   tiempo.

   De la ecuación (1) despejemos ds

   ds = vdt

   y reemplazamos la velocidad por la
   expresión obtenida, la cual nos da:

   

2. Aceleración en función del tiempo (a =
   a(t)

   En la ecuación (3) reagrupando
   términos y reemplazando "a" por a(s),
   tenemos:

   vdv = ads

   vdv = a(s) ds

   Esta última ecuación puede integrarse
   directamente tomando los valores v0 y
   s0 de la velocidad y desplazamiento
   respectivamente, para condiciones iniciales,
   obteniéndose.

   

   

   Ecuación que expresa la
   velocidad en función del desplazamiento.

3. Aceleración en función del
   desplazamiento (a = a(s).
4. Aceleración en función de la
   velocidad (a = a(v)).

En la ecuación (2) sustituimos
"a" por a(v) y hallamos:

Ejemplo 1.

El movimiento de una partícula se define por la
ecuación:

S = t³ – 9t² – 48t + 50. Calcular.

1. 

2. Su velocidad media en el intervalo de
   tiempo
3. Su velocidad instantánea a los 1
   seg.
4. El tiempo para el cual la velocidad será
   cero
5. La posición y el espacio recorrido por la
   partícula en ese tiempo
6. La aceleración en ese instante.

1. Se sabe por definición:

Calculamos el espacio recorrido en cada
tiempo:

Se ha obtenido reemplazando los valores de t1
y t2 en la ecuación del movimiento de la
partícula.

Reemplazando en (1):

b) De la definición:

Reemplazando valores para t = 1

V = – 63 m/seg

Para hallar c, d y e utilizamos las fórmulas
(1) y (2).

S = t³ – 9t² – 48t + 50 …. (x)

…..
()

……

c) Cuando v = 0 en ()

3t² – 18t – 48 = 0

Resolviendo, resulta:

t = -2 seg. y t = 8 seg.

Se toma t = 8 seg., ya que corresponde a un tiempo
posterior a la iniciación del movimiento.

1. S (8) = 8³ – 9(8)² – 48(8) + 50 = -398
   m.

   Para t = 0, s0 = 50m, luego el espacio
   recorrido por la partícula será:

   S = s8 – S0 = – 398
   – 50 = -448m

   en
   dirección negativa

2. Reemplazando t = 8 seg. En (x)
3. Reemplazando t = 8 seg. En

a(8) = 6(8) – 18 = 30 m/s²

Ejemplo 2.

Un auto parte del reposo y se desplaza con una
aceleración de 1m/seg² durante 1 seg. Luego se apaga
el motor y el auto desacelera debido a la fricción,
durante 10 seg, a un promedio de 1/20 m/seg². Entonces se
aplican los frenos y el auto se detiene en 5 segundos más.
Calcular la distancia total recorrida por el auto.

Solución:

a = 1m/seg² t = 5 seg.

T = 1 seg. t = 10 seg. A = ?

Para el primer tramo:

Datos:

V0 = 0, V1 = ??, a = 1
m/seg², t = 1 seg, x = ??

Se sabe:

de
donde:

……
(1)

Luego la velocidad final (v1)
será:

V1 = v0 + at V1 = 0 + (1)(1)
= 1 m/seg ….. (2)

Para el segundo tramo.

Datos:

V1 = 1 m/seg, v2 = ?., a =
–m/seg²,

t = 10 seg, x = ?

Sabemos:

de
donde:

Luego la velocidad final (V2)
será:

V2 = v1 + at de donde:
v2 = 0.5 m/seg … (4)

Para el tercer tramo.

Datos:

V2 = 0.5m/seg, v3 = 0, a = ??, t =
5 seg, x = ??

Sabemos:

de
donde: …..
(5)

En consecuencia:

de
donde:

…….
(6)

sumando (1) + (3) + (6):

x = 0.5 + 7.5 + 1.25

x = 9.25 m.

Cuando una partícula se mueve a lo largo del eje
x desde cierta posición inicial xi hasta cierta
posición final xf su desplazamiento
es

La velocidad promedio de una partícula
durante algún intervalo de tiempo es el desplazamiento
∆x dividido entre el intervalo de tiempo ∆t durante
el cual dicho desplazamiento ocurrió:

La rapidez promedio de una partícula es
igual al cociente entre la distancia total recorre y el tiempo
total necesario para cubrir esa distancia.

La rapidez instantánea de una particulares
igual a la magnitud de su velocidad.

La aceleración promedio de una
partícula se define como la proporción entre el
cambio de su velocidad, ∆vx` dividido entre el
intervalo de tiempo ∆t durante el cual ocurrió dicho
cambio.

La aceleración instantánea es igual
al límite de la relación
∆vx/∆t cuando ∆t tiende a cero. Por
definición, este límite es igual a la derivada de
vx respecto de t, o a la proporción de cambio
de la velocidad en el tiempo:

Las ecuaciones de la cinemática para una
partícula que se mueve a lo largo del eje x con
aceleración uniforme (constante en magnitud y dirección)
son

Debe ser capaz de usar estas ecuaciones y las
definiciones en este capitulo de la física para analizar
el movimiento de cualquier objeto que se mueve con
aceleración constante.

Un objeto que cae libremente en presencia de la gravedad
de la Tierra experimenta una aceleración de caída
libre dirigida hacia el centro de la Tierra. Si se ignora la
resistencia del aire, si el movimiento ocurre cerca de la
superficie de la Tierra y si el rango del movimiento es
pequeño comparado con el radio de la Tierra, puede
suponerse que la aceleración de caída libre, g, es
una constante en el intervalo del movimiento, donde g es igual a
9.80 m/s2.

Los problemas complicados tienen un mejor abordaje con
un método organizado. Debe ser capaz de recordar y aplicar
las etapas de la estrategia ROAA
cuando los necesite.

Anexo
1

Como primer anexo de este trabajo investigativo
ofrecemos una encuesta realizada a jóvenes de sextos
cursos
especialidad físicos matemáticos de los colegios
"San Alfonso" y "Santo Domingo de Guzmán"; como
también a jóvenes universitarios de la Pontificia
Universidad
Católica del Ecuador Sede
Ambato.

A continuación se presenta las hojas de encuesta
con su respectivo análisis estadístico:

Diagrama de tallo:

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

 Pregunta 4

 Pregunta 5

 Tamaño de la población y la muestra:

N: Estudiantes de los sextos cursos de
bachillerato en ciencias de los colegios "San Alfonso", "Santo
Domingo de Guzmán" y estudiantes de la facultad de Ing. en
Sistemas de la
P.U.C.E.S.A.

n: 50 estudiantes

Tabla de distribución de frecuencias para los datos
no agrupados:

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5:

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5:

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5:

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5:

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5:

Pregunta 1:

 Pregunta 2:

Pregunta 3:

Pregunta 4:

Pregunta 5:

ANALISIS E INTERPRETACION DE DATOS

Los alumnos no tienen una idea clara sobre el tema, al
contestar las preguntas se contradicen.

Como lo evidencia la pregunta cuatro el calculo
diferencial e integral para estudiantes secundarios solo es
una semblanza o un mito; el
alumno san alfonsino a conocido estos elementos del
análisis matemático a operado con ellos y en mayor
o menor grado sabe de que manera emplearlo si en un momento
fueran necesarios.

El masivo resultado positivo dada la pregunta uno la
disposición en las respuestas dadas en la pregunta tres y
el absoluto desconocimiento mostrado por elevado valor de
resaltados asignados al código
5.4 de la pregunta cinco, revelan poco interés, falta de
análisis, vacìos en el conocimiento del tema; en
base a las cuales se ha podido concluir para luego buscar
proponer los mecanismos mas idóneos recordando que el
sentido de la presente investigación no es otro sino
aportar un análisis serio y valido que emita estrategias
factibles de llevar a cabo en un periodo mediato.

ANEXO 2

CÁLCULO DIFERENCIAL

En diversas ramas de la ciencia, en ocasiones es
necesario usar las herramientas básicas del
cálculo, inventadas por Newton, para describir los
fenómenos físicos. El uso del cálculo es
fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la
mecánica newtoniana, la electricidad y el
magnetismo. En
esta sección sólo establecemos algunas propiedades
básicas y reglas prácticas que deben ser un repaso
útil para el estudiante.

Primero, debe especificarse una función que
relacione una variable con otra (como una coordenada como
función del tiempo). Suponga que una de las variables se
denomina y (la variable dependiente (y la otra x (la variable
independiente).

Podríamos tener una relación de
función como

Y(x) = ax³ + bx² + cx + d

Si a, c y d son constantes especificadas, entonces y
puede calcularse para cualquier valor de x. Usualmente tratamos
como funciones continuas, es decir, aquellas para las cuales y
varía "suavemente" con x.

La derivada de y respecto de x se define como el
límite, a medida que tiende a cero, de las pendientes de la cuerdas
dibujadas entre dos puntos en la curva y contra x.
matemáticamente, escribimos esta definición
como

donde y
y x definen como
x = x2
– x1 y y = y2 – y1 (Fig. B. 13).
Es importante advertir que dy/dx no significa dy dividida entre
dx, sino que es simplemente una notación del proceso del
límite de la deriva de acuerdo a como la define la
ecuación.

Una expresión útil que debe recordarse
cuando y(x) = ax², donde a es una constante y n es cualquier
número positivo o negativo (entero o fraccionario),
es

Si y(x) es una función polinomial o algebraica de
x, aplicamos la ecuación a cada término en el
polinomio y tomamos da/dx = 0. En los ejemplos del 4 al 7,
evaluamos las derivadas de varias funciones.

EJEMPLO 1

Suponga que y (x) es decir, y como una función de
x) etá dada por

Y(x) = ax³ + bx + c

Donde a y b son constantes. Así, se concluye
que

+ b(x + x) + c

y(x+x) =
a(x³ + 3x²x + 3xx² + x³)

+b(x + x) + c

por lo que

+ bx

Sustituyendo esto en la ecuación B.28 se obtiene
por

EJEMPLO 2

Solución:

Al aplicar la ecuación B. 29 a cada
término independientemente, y sin olvidar que d/dx
(constante) = 0, tenemos

Propiedades especiales de la deriva

A. Derivada del producto de dos funciones. Si una
función f(x) está dada por el producto de dos
funciones, digamos, g(x) y h(x), entonces la derivada de f(x) se
define como.

B. Derivada de la suma de dos funciones. Si una
función f(x) es igual a la suma de dos funciones, entonces
es la derivada de la suma es igual a la suma de las
derivadas:

C. Regla de la cadena del cálculo
diferencial. Si y = f(x) y x = f(x), entonces dy/ds puede
escribirse como el producto de dos derivadas.

D. La segunda derivada. La segunda derivada de y
respecto de x se define como la derivada de la función
dy/dx (la derivada de la derivada). Suele escribirse.

EJEMPLO 3

Encuentre la derivada de y(x) = x³/(x+1)²
respecto de x

Solución. Podemos escribir esta
función como y(x) = x³(x+1)-1 y aplicar la
ecuación B.30:

EJEMPLO 4

Una fórmula útil que se desprende de la
ecuación B.30 es la derivada del cociente de dos
funciones. Demuestre que

Solución. Podemos escribir el
cociente como gh-1 y después aplicar las
ecuaciones B.29 y B.30

Algunas de las derivadas de funciones que se usan
más comúnmente se listan en la tabla 4.

CÁLCULO INTEGRAL

Consideramos la integración como la inversa de la
diferenciación. Como ejemplo, sea la
expresión.

que fue el resultado de diferenciar la
función

y(x) = ax³ + bx + c

en el ejemplo 4. Podemos escribir la ecuación B.
34 como dy = f(x)dx = (3ax²+b) dx y obtener y(x) "sumando"
sobre todos los valores de x. Matemáticamente, escribimos
esta operación inversa.

Para la función f(x) dada por la ecuación
B.34, tenemos

donde c es una constante de la integración. Este
tipo de integral se conoce como una integral indefinida debido a
que su valor depende de la elección de c.

Una integral definida general I(x) se define
como

donde f(x) recibe el nombre de integrando y
f(x)

Para una función continua general f(x), la
integral puede describirse como el área bajo la curva
acotada por f(x) y el eje x, entre dos valores especificados de
x, por ejemplo, x1 y x2, como en la figura
B.14.

El área del elemento azul es aproximadamente
Si sumamos todos
estos elementos de área de x1 y x2 y
tomamos el límite de esta suma a medida que , obtenemos el área
real bajo la curva acotada por f(x) y x, entre los límites
x1 y x2:

Las integrales de este tipo definidas por la
ecuación B. 36 se conocen como integrales
definidas.

TABLA 3.1 Derivada para diversas
funciones

Una integral común que surge en situaciones
prácticas tiene la forma

Este resultado es evidente pues la diferenciación
del lado derecho con respecto de x produce directamente f(x) =
xn. Si se conocen los límites de
integración, esta integral se vuelve una integral definida
y se escribe:

EJEMPLOS:

1.

2.

3.

Integración parcial

Algunas veces es útil el método de
integración parcial (llamada también
"integración por partes") para evaluar ciertas integrales.
Este método aprovecha la propiedad de
que

donde u y v se eligen con sumo cuidado de manera que se
eduzca una integral compleja a una más simple. En muchos
casos, es necesario efectuar varias reducciones.

Considere la función

Esta puede evaluarse integrando por partes dos veces.
Primero, si elegimos u = x², v = ex,
obtenemos

Después de esto, en el segundo término
escogemos u = x1 v = ex, lo que
produce

La diferencial perfecta

Otro método útiles que se debe recordar es
el empleo de la
diferencial perfecta en la cual buscamos un cambio de variable de
modo que la diferencial de la función sea la diferencia de
la variable independiente que aparece en el integrando. Por
ejemplo, considere la integral.

Ésta se vuelve fácil de evaluar si
reescribimos la diferencial como d(cos x) = -sen x
dx,.

La integral se vuelve entonces

si después de esto cambiamos variables, dejando y
= cos x, obtenemos

La Tabla lista algunas integrales indefinidas
útiles. La tabla B.6 proporciona la integral de probabilidad de
Gauss y otras integrales definidas. Una lista más completa
puede encontrarse en varios manuales. Como
The Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press

TABLA 2.2 :

Algunas integrales indefinida (una constante
arbitraria debe sumarse a cada una de estas
integrales)

ANEXO 3

3.1Considere un auto que se mueve
hacia atrás y hacia adelante a lo largo del eje x como
muestra la figura a. Cuando se comienza a recopilar datos de
posición el auto esta a 30 m a la derecha de la
señal en el camino. (Suponga que todos los datos de este
ejemplo se conocen hasta dos cifras significativas. Para
transmitir esta información es necesario reportar la
posición inicial como 3.0 × 101 m. Se
escribió este valor en forma simplificada para hacer que
el análisis sea más fácil de seguir.) Se
echa a andar el reloj y cada 10 s se anota la ubicación
del auto con relación con la señal. Como se puede
ver en la tabla, el auto el auto se mueve hacia la derecha (la
cual se define como la dirección positiva) durante los
primeros 10 s de movimiento, desde la posición A a la
posición B. Sin embargo, ahora los valores de
posición comienzan a disminuir debido a que el auto esta
regresando de la posición B a la posición F. De
hecho, en D, 30 s después de que se comienza a medir, el
carro esta junto a la señal que se esta usando como origen
de las coordenadas. Continua moviéndose a la izquierda y
esta a más de 50 m a la izquierda de la señal
cuando se deja de registrar información luego del sexto
dato. Una grafica con esta información se presenta en la
figura b. Tal representación recibe el nombre de grafica
posición-tiempo.

 Tabla

Gráficos:

 a) Un auto se mueve hacia atrás y hacia
delante a lo largo de una línea recta considerada como eje
x. Debido a que se esta interesado solo en el movimiento
de traslación del auto, posible tratarlo como una
partícula.

b) Grafica posición-tiempo para el moviendo de
la "partícula"

Existe un punto muy importante que todavía no se
ha mencionado. Observe que la grafica de la figura b no solo
consta de seis puntos, sino que en realidad se trata de una curva
continua. La grafica contiene información acerca del
intervalo completo de 50 s durante los cuales se observa el
movimiento del auto

Es mucho más fácil ver los cambios en la
posición a partir de la gráfica que de la
descripción verbal o incluso de una tabla de
números. Por ejemplo, es claro que el carro avanzo
más a la mitad del intervalo de 50 s que al final. Entre
las posiciones C y D carro ha viajado casi 40 m, pero durante los
últimos 10 s, entre las posiciones E y F se ha movido
menos de la mitad de esa distancia. Una forma común de
comparar estos diferentes movimientos es dividir el
desplazamiento ∆x que ocurre entre lecturas del reloj entre
la duración de dicho intervalo de tiempo particular
∆t. Esto se convierte en tina proporción muy
útil que se empleará en muchas ocasiones Por
conveniencia, a dicha proporción se le ha dado un nombre
especial: velocidad promedio.

3.2A menudo se confunden los conceptos de
velocidad y aceleración, pero de hecho son cantidades muy
diferentes. Es instructivo usar diagramas de
movimientos para describir la velocidad y la aceleración
mientras un objeto esta movimiento. Para no confundir estas dos
cantidades vectoriales, para las que tanto la magnitud como
dirección son importantes, se usa rojo para los vectores
de velocidad y violeta para los vectores de la
aceleración, como se muestra en la figura. Los vectores
son bosquejados en varios instantes durante el movimiento del
objeto, y los intervalos de tiempo entre posiciones adyacentes se
suponen iguales. Esta ilustración representa tres juegos de
fotografías estroboscópicas de un auto
moviéndose de izquierda a derecha a lo largo de una
carretera recta. Los interval0os de tiempo entre los destellos
son iguales en cada diagrama.

En la figura a las imágenes del auto están
igualmente espaciadas, y muestran que el carro avanza la misma
distancia en cada intervalo. Por tanto, el carro se mueve con
velocidad constante positiva y tiene aceleración
cero.

En la figura b las imágenes comienzan a aparecer
mas separadas conforme transcurre el tiempo. En este caso el
vector velocidad se incrementa con el tiempo debido a que el
desplazamiento del carro entre posiciones adyacentes se
incrementa con el tiempo. El carro se mueve con velocidad
positiva y una aceleración positiva.

En la figura c se puede decir que el carro se detiene
conforme se mueve a la derecha puesto que su desplazamiento entre
imágenes adyacentes disminuye con el tiempo. En este caso
el auto se mueve a la derecha co0n una aceleración
negativa constante. El vector velocidad disminuye con el tiempo y
eventualmente llega a cero. A partir de este diagrama se aprecia
que los vectores aceleración y velocidad no están
en la misma dirección. El auto se mueve con una
velocidad positiva pero con una aceleración
negativa.

Debería ser capas de construir diagramas de
movimiento para autos que se
mueve inicialmente a la izquierda con aceleración
constante, ya sea positiva o negativa.

 Diagrama de movimiento para un auto
moviéndose a velocidad constante (aceleración
cero).

Diagrama de movimiento para un auto cuya
aceleración constante esta en dirección de su
velocidad. El vector velocidad en cada instante esta indicado por
una fecha roja, y la aceleración constante por una flecha
violeta.

Diagrama de movimiento para un auto cuya
aceleración constante esta en dirección
opuesta a su velocidad en cada instante.

3.3

¡Cuidado con el límite de
rapidez!

Un automóvil viaja a una rapidez constante de
45.0 m/s y pasa por un anuncio detrás del cual se oculta
una motociclista de transito. Un segundo después de que
pasa el automóvil la motocicleta parte del anuncio para
atraparlo, acelerando a una relación constante de 3.00
m/s2. ¿Cuánto tarda ella en rebasar al
automóvil?

Un auto con exceso de velocidad pasa a
un oficial de policía oculto

Planteamiento y
solución:

Una cuidadosa lectura
permite categorizar este como un problema de aceleración
constante. Se sabe que después de un segundo de retraso al
arrancar, le tomara a la motociclista otros 15 s acelerar hasta
los 45 m/s. desde luego ella deberá continuar
incrementando su rapidez (a una proporción de 3.00 m/s por
segundo) para atrapar al automovilista. Mientras todo esto sucede
el automóvil continua moviéndose. Por tanto, se
debe esperar que el resultado este por arriba de los 15 s. un
bosquejo ayuda a clarificar la secuencia de los eventos.

Primero, escriba expresiones para la posición de
cada vehículo como función del tiempo. Es
conveniente elegir la posición del anuncio como el origen
y establecer tB = 0 como el tiempo en que la
motociclista inicia su movimiento. En ese instante el
automóvil ya ha recorrido una distancia de 45.0 m porque a
viajado a una rapidez constante de vx = 45.0 m/s
durante un segundo. De este modo. La posición inicial del
auto con exceso de rapidez es xB = 45.0 m.

Puesto que el automóvil se mueve con rapidez
constante, su aceleración es cero, y al aplicar la
ecuación del espacio (con ax = 0) dada para la
posición del auto en cualquier tiempo t se
obtiene:

X auto = xB + vautot =
45.0 m + (45.0 m/s)

Un rápido vistazo muestra que en t = 0 esta
expresión da la posición inicial correcta del auto
cuando la motociclista comienza su persecución: x
auto = xB = 45.0 m. observar los casos
limite para ver si se ajustan a los valores esperados en una
forma muy útil de asegurarse de que se están
obteniendo resultados razonables.

La motociclista parte del reposo en t = 0 y acelera a
3.00 m/s2 desde el origen. Por tanto, su
posición después de cualquier intervalo de tiempo t
se puede encontrar a partir de la ecuación del
espacio.

Xf = xi + vx it
+ax
t2

X policía = 0 + 0t +ax
t2

La motociclista rebasa al auto en el instante en que su
posición se empareja con la del auto, que es la
posición C:

x policía = x
auto

Esto da la ecuación cuadrática:

1.50 t2 – 45.0 t – 45.0 =
0

La solución positiva de esta ecuación es t
= 31.0 s

Advierta que en este intervalo de 31.0 s la motociclista
viajo una distancia de casi 1440 m.

3.4

No es un mal lanzamiento para una
novato.

Una piedra lanzada desde el techo de un edificio
adquiere una velocidad inicial de 20.0 m/s en línea recta
hacia arriba. El edificio tiene 50 m de altura y la piedra libra
apenas el techo en su trayecto hacia abajo, como se muestra en la
figura 2.14. Determine a)el tiempo necesario para que la piedra
alcance su máxima altura, b) la altura máxima, c)el
tiempo necesario para que la piedra regrese al techo del
edificio, d) la velocidad de la piedra en ese instante, y e) la
velocidad y posición de la piedra en t = 5.00s.

 La posición y la velocidad contra el
tiempo para una partícula que cae libremente y que se
lanzó inicialmente hacia arriba con una velocidad de
v0 = 20m/s

Planteamiento y
solución:

a) Para encontrar el tiempo necesario para que la piedra
alcance la altura máxima se emplea la ecuación v =
vo – gt, observando que v = d en la altura
máxima:

20.0 m/s – (9.80 m/s²)t1 =
0

b) Este valor del tiempo puede sustituirse en la
ecuación, para producir la altura máxima medida
desde la posición del lanzador:

= 20.4 m

c) Cuando la piedra regresa a la altura del techo del
edificio, la coordenada y es cero. Con la ecuación, y = 0,
se obtiene

0 = (20.0 m/s)t – (4.90
m/s²)t²

Esta es una ecuación cuadrática y tiene
dos soluciones
para t la ecuación puede factorizarse:

t(20.0 – 4.90t)= 0

Una solución es t = 0, correspondiente al tiempo
que la piedra inicia su movimiento. La otra solución es t
= 4.08s, que es la solución buscando.

d) El valor para t encontrado en c) puede utilizarse en
la ecuación para obtener

v = v0 – gt = 20.0m/s –
(9.80m/s²) (4.08s)

= -20.0 m/s

Observe que la velocidad de la piedra cuando llega de
regreso a su altura original es igual en magnitud a su velocidad
inicial pero opuesta en dirección, lo cual indica que el
movimiento es simétrico.

e) De la ecuación, la velocidad después de
5.00 s es

v = v0 – gt = 20.0m/s –
(9.80m/s²) (5.00s)

= -29.0m/s

Podemos usar la ecuación para encontrar la
posición de la partícula en t = 5.00 s:

, = (20.0m/s) (5.00)s – ½(9.80m/s²)
(5.00)² = -22.5m

3.5

¡Miremos abajo!

Una pelota de golf se deja caer a partir del reposo
desde la azotea de un edificio muy alto. Desprecie la resistencia
de aire y calcule la posición y velocidad de la pelota
después de 1.00, 2.00 y 3.00 s.

Planteamiento y
solución:

Se eligen las coordenadas de manera que el punto de
inicio de la pelota esté en el origen (y0 = 0
en t = 0), sin olvidar que y se ha definido como positiva en la
dirección hacia arriba. Puesto que v0 = 0, las
ecuaciones 2.13 y 2.15 se vuelven

V = -gt = -(9.80 m/s²) t

donde t está en segundos, y en metros por segundo
y y en metros. Estas expresiones proporcionan la velocidad y el
desplazamiento en cualquier tiempo t después de que la
pelota ha sido soltada. Por consiguiente, en t = 1.00
s.

V = – (9.80m/s²) (1.00s) = -9.80m/s

En t = 2.00 s, encontramos que v = -19.6m/s y =
-19.6m.

En t = 3.00s v = -29.4m/s y y = -44m. Los signos menos
de v indican que la dirección de la velocidad es hacia
abajo y los signos menos de y señala un desplazamiento en
la dirección y negativa. (Debido a la resistencia del aire
la rapidez real de la pelota está limitada a
aproximadamente 30 m/s)

Ejercicio. Calcule la posición y la
velocidad de la pelota después de 4.00 s.

Respuesta. –78.4m, -39.2m/s

3.6

¡Intente cachar el billete de
dólar!

Emily desafía a David, su mejor amigo, para que
cache un billete de dólar de la siguiente manera. Ella
sostiene el billete verticalmente, como en la figura 1.13. con el
centro del billete entre los dedos Índice y pulgar de
David. Este debe cachar el billete después de que Emily lo
suelte, sin mover su mano hacia abajo,

¿Quién ganaría la
apuesta?

Razonamiento Apuéstele a Emily. Hay un
tiempo de retraso entre el instante en que Emily suelta el
billete y el tiempo en que David reacciona y cierra sus dedos. El
tiempo de reacción de la mayoría de la gente es en
el mejor de los casos cercano a 0,2 s. Puesto que el billete
está en caída libre, y experimenta una
aceleración hacia abajo de 9.80 m/s2, en 0.2 s
cae una distancia de gt2 0.2 m = 20 cm. Esta distancia es casi el doble de la
distancia entre el centro del billete y su borde superior
( 8
cm).

En consecuencia, David fracasará. Tal vez usted
desee probar lo anterior con uno de sus amigos.

ANEXO 4

METODOLOGIA ROAA PARA RESOLUCIÓN DE
EJERCICIOS

Además de los que podría esperar aprender
acerca de los conceptos físicos, una habilidad muy
útil que debería esperar desarrollar a partir de su
curso de física es la capacidad de resolver problemas
complicados.

La forma en que los físicos se aproximan a
situaciones complejas y las descomponen en piezas manejables es
extremadamente provechosa. Se ha desarrollado una memoria que le
ayudara a recordar los pasos requeridos para resolver con
éxito los problemas.

Cuando este trabajo en ellos ¡el secreto es
mantener su ROAA en mente!

ETAPAS RECOLECTAR ORGANIZAR ANALIZAR APRENDER PARA
RESOLVER PROBLEMAS

Recolectar información

Lo primero que se debe hacer cuando se acerca a la
resolución de un problema es comprender la
situación.

Lea cuidadosamente el enunciado del problema, observe la
frase clave como "en reposo" o "caída libre".
¿Qué información se esta proporcionando?
¿Cuál es exactamente la pregunta planteada? No
olvide recopilar información de su propia experiencia y
sentido común. ¿Cómo se presentiría
una respuesta razonable? No esperaría calcular la rapidez
de un automóvil en 5 X 106 m/s. ¿Sabe
que unidades esperar? ¿Existen algunos casos limite que
deba considerar? ¿Qué sucede cuando un
ángulo tiende a 0o o 90o, o cuando
una masa se vuelve enorme o tiende a cero? También
asegúrese de estudiar con cuidado cualquier dibujo que
acompañe al problema.

Organice su aproximación

Una vez que realmente tiene una buena idea de lo que
trata el problema necesitara pensar acerca de lo que sigue.
¿Ha visto antes este tipo de preguntas?

Ser capaz de clasificar un problema puede facilitar
mucho el establecer un plan para resolverlo.

Casi siempre deberá hacer un dibujo rápido
de la situación.

Etiquete los eventos importantes con letras dentro de
círculos.

Indique cualquier valor conocido, quizá en una
tabla o directamente sobre su bosquejo.

Analice el problema

Dado que ya habrá categorizado el problema, no
deberá ser muy difícil seleccionar ecuaciones
relevantes para aplicar a este tipo de
situación.

Use el álgebra (y
el calculo, si es necesario) para resolver las variables
desconocidas en términos de los datos con los que se
cuenta.

Sustituya en los números aproximados, calcule el
resultado y redondéelo al número apropiado de
cifras significativas.

Aprenda de sus esfuerzos

Esta es la parte mas importante. Examine sus respuestas
numéricas. ¿Concuerdan con las expectativas del
primer paso? ¿Qué hay con la forma algebraica del
resultado antes de expresarlo en números? ¿Tiene
sentido? (Intente observar las variaciones en ellas para ver si
la respuesta podría cambiar en su forma físicamente
significativa si estas aumentaran de manera drástica,
disminuyeran o incluso se convirtieran en cero.) Piense en como
se compara este problema con otros que ha realizado. ¿En
que es similar? ¿En que forma critica difieren?
¿Por qué fue asignado este problema? Debería
haber aprendido algo al resolverlo. ¿Puede imaginarse
que?

Cuando resuelva problemas complejos puede necesitar
identificar una serie de sub. problemas y aplicar el proceso ROAA
a cada uno.

Para problemas muy simples probablemente no lo
necesitara para nada.

Pero cuando este analizando un problema y no sepa que
hacer a continuación, recuerde lo que establecen las
letras.

BIBLIOGRAFIA

CONSULTADA.

1. GRANVILLE, William Anthony – SMITH, Percey F.
– LONGLEY, William Raymond. Calculo Diferencial e Integral. Ed.
Limusa, México,
5ta. edición, 1982. 685p.

2. DANKO, P.E. – POPOV, A.G. – KOZHEVNIKOVA, T.
YA. Matemáticas Superiores en Ejercicios y Problemas. Ed.
MIR, Moscú, 1era. edición, 1983. 362p.

3. VALLEJO AYALA, Patricio, Ing. Mecánico
EPN – ZAMBRANO OREJUELA, Jorge, Lic. en Ciencias de la
Educación. Física Vectoria, Tomo 1. Ed. Grafiti
Ofssett, Quito, 3era. edición, 1995. 245p.

4. PANCHI NUÑEZ, Cesar Eduardo. Ing.
Física Vectorial Elemental. Ed. RODIN, Quito, 8va.
edición, 1999. 296p.

5. GONI GALARZA, Juan. Ing. Física
General. Ed. INGENIERIA, Lima, 2da edición, 1985.
528p.

6. MC KELVEY, Jhon P. – GROTCH, Howard,
Física para Ciencias e ingeniería. Ed. HARLA, México, 11va
edición, 1989. 585p.

7. SEARS, Francis W. – ZEMANSKY, Mark W. – YOUNG,
Hugh D. Física Universitaria. Ed. ADDISON-WESLEY
IBEROAMRICANA, Massachusetts, 6ta edición, 1988.
1110p.

REFERENCIAL.

2. SERWAY, Raymond A. – BEICHNER, Robert J.
   Física para Ciencias e Ingeniería, Tomo 1. Ed.
   McGRAW-HILL, México, 5ta edición, 2002.
   700p.
3. SERWAY, Raymond A. Física, Tomo 1. Ed.
   McGRAW-HILL, México, 4ta edición, 1999.
   645p.
4. HALLIDAY, David – RESNICK, Robert.
   Física I. Ed. San Marcos, Perú,
   1999.
5. MERIAN, J.L. Dinámica. Ed. San Marcos,
   Perú
6. GUTIERREZ MARTINEZ, Abraham,.Lecciones de
   Investigación. Ed. Del Instituto Nacional Mejia. Quito
   . 1992, 280p
7. IZQUIERDO ARELLANO, Enrique. Investigación
   Cientifica. Imprenta Cosmos. Loja. 5ta edición. 1999.
   160p

DOCUMENTAL

1. CASTILLO C. – CUEVA R. – DAZA W. – GUAMAM E. –
NAVAS F. NUÑEZ J. – PAZ G. – TORO J. matemática
Básica. Ed. RODIN, Quito, 3era edición, 1998.
283p.

2. TASIGUANO S., Miguel – CAMACHO M., Xavier –
ALDAZ P., Oswaldo – VALLEJO A., Patricio. Física. Ed.
FEPON, Quito, 3ra edición, 1993. 270p.

3. PROFESORES DEL INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS
DE LA ESCUELA
POLITECNICA NACIONAL, Libro de
Trabajo de Física para Prepolitecnico. Ed. RODIN, Quito,
3ra edición, 1993. 170p.

Autor:

Luis Paredes